Математика / Функции и графики

Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент

Если известны точка прямой и ее угловой коэффициент, уравнение можно записать в виде y - y1 = k(x - x1). Она уточняет, какие величины входят в запись y-y_1=k(x-x_1) и какой результат получают после подстановки.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Школьная программа ОГЭ Формулы по математике за 7 класс Функции и графики Линейные уравнения и преобразования Есть историческая справка

Формула

$$y-y_1=k(x-x_1)$$

Обозначения

$x_1, y_1$: координаты известной точки прямой
$k$: угловой коэффициент прямой
x, y: координаты произвольной точки этой прямой

Условия применения

Известная точка лежит на искомой прямой.
Угловой коэффициент k задан или найден заранее.
Прямая не является вертикальной, то есть ее можно описать как функцию y от x.

Ограничения

Вертикальная прямая x = a не записывается в виде y - y1 = k(x - x1).
Если k вычислен по ошибочным точкам, полученное уравнение будет описывать другую прямую.
Для школьных задач формулу часто затем приводят к виду y = kx + b, чтобы удобнее строить график.

Подробное объяснение

Формула y - y1 = k(x - x1) выражает постоянство наклона прямой. Для любой точки (x, y) на прямой отношение изменения y к изменению x равно k. Поэтому разность y - y1 равна k, умноженному на разность x - x1.

Эта запись удобна, когда известна одна точка и наклон. Не нужно сначала искать свободный член b: формула сразу строит все точки прямой, проходящей через заданную точку с заданным наклоном.

После подстановки обычно раскрывают скобки и приводят уравнение к виду y = kx + b. Так легче сравнивать линейные функции, строить график по пересечению с осью Oy и вычислять значения y.

В школьном курсе эта формула укрепляет понимание графика: прямая определяется не только двумя точками, но и одной точкой вместе с направлением. Поэтому она связывает геометрическую картинку с алгебраической записью.

При применении этой формулы важно сначала распознать структуру: какие элементы соответствуют обозначениям в записи y-y_1=k(x-x_1). После этого преобразование выполняется не по внешнему виду, а по смыслу величин. Если структура не совпадает, нужно выбрать другое свойство или предварительно привести выражение к нужному виду.

Как пользоваться формулой

Запишите координаты известной точки x1 и y1.
Запишите угловой коэффициент k.
Подставьте значения в формулу y - y1 = k(x - x1).
Раскройте скобки, если нужна запись y = kx + b.
Проверьте, что исходная точка удовлетворяет полученному уравнению.

Историческая справка

Точечно-угловая запись прямой относится к координатному методу, который позволил описывать геометрию уравнениями. В школьном курсе она появляется как естественное продолжение понятия углового коэффициента: если известно направление прямой и одна ее точка, вся прямая уже определена. Такая идея используется в математике, физике и экономике, когда по начальному состоянию и постоянной скорости изменения нужно восстановить зависимость. Поэтому формула является мостом между геометрическим свойством прямой и алгебраической моделью линейного изменения. В учебной традиции XIX-XX веков такие правила получили устойчивую короткую запись, потому что школьная алгебра и геометрия стали массовыми предметами. Краткая формула заменила длинное словесное рассуждение, но сохранила связь с исходным определением, вычислительной практикой и доказательством.

Историческая линия формулы

У точечно-угловой формы прямой нет единственного автора. Она является частью аналитической геометрии и следует из определения углового коэффициента как отношения изменения y к изменению x. Атрибуция относится к общей школьной и классической математической традиции: формула выводится из определения и стандартных правил действий, а не из отдельной авторской публикации.

Пример

Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом k = 2, проходящей через точку (3, 7). Подставляем данные: y - 7 = 2(x - 3). Раскрываем скобки: y - 7 = 2x - 6, значит y = 2x + 1. Проверка: при x = 3 получаем y = 2 * 3 + 1 = 7, исходная точка подходит. Для построения графика удобно отметить точку (3, 7), затем использовать наклон k = 2: при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 2. Так можно получить вторую точку (4, 9) и провести прямую. Проверка выполняется обратной подстановкой: найденное выражение раскрывают или возвращают в исходное условие. Если после подстановки получается исходное равенство, порядок действий выбран верно. Такая проверка особенно полезна при знаках, степенях и переносе членов.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять координаты точки без скобок и терять знак: для точки (3, 7) запись должна быть y - 7 = k(x - 3). Если точка имеет отрицательные координаты, например (-2, 5), получится y - 5 = k(x + 2). Еще одна ошибка - считать, что k равен свободному члену; коэффициент k задает наклон, а свободный член появляется только после раскрытия скобок.

Практика

Задачи с решением

Составить уравнение

Условие. Прямая имеет k = 3 и проходит через точку (2, 5). Найдите ее формулу.

Решение. y - 5 = 3(x - 2). Раскрываем скобки: y - 5 = 3x - 6, значит y = 3x - 1.

Ответ. y = 3x - 1

Точка с отрицательной координатой

Условие. Прямая с k = -1 проходит через точку (-4, 2). Запишите уравнение.

Решение. y - 2 = -1(x - (-4)), то есть y - 2 = -(x + 4). После раскрытия: y = -x - 2.

Ответ. y = -x - 2

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Раздел «Линейная функция»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Линейные функции и графики
ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, координатная плоскость и функции

Связанные формулы

Математика

Линейная функция

$y = kx + b$

Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.

Математика

Угловой коэффициент прямой

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$

Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.

Математика

Свободный член линейной функции

$b=y-kx$

Свободный член b в линейной функции y = kx + b можно найти по известной точке графика и угловому коэффициенту. Она уточняет, какие величины входят в запись b=y-kx и какой результат получают после подстановки.

Математика

График линейной функции по двум точкам

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$

Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.

Математика

Прямая пропорциональность

$y = kx$

Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.