Математика / Функции и графики

Аргумент линейной функции по известному значению

Если значение линейной функции y = kx + b известно, аргумент находят обратным ходом: вычитают свободный член и делят результат на ненулевой коэффициент k. Она связывает з.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

x = \frac{y-b}{k},\quad k \ne 0

Обозначения

$x$: искомый аргумент функции, зависит от задачи
$y$: известное значение функции, единицы зависимой величины
$k$: ненулевой коэффициент при аргументе, единиц y на единицу x
$b$: свободный член линейной функции, единицы y

Условия применения

Функция должна иметь вид y = kx + b.
Коэффициент k не должен равняться нулю, иначе деление невозможно.
Известное значение y должно относиться к той же функции, где заданы k и b.

Ограничения

При k = 0 функция постоянна: либо все x дают одно и то же y, либо подходящего x нет.
Формула не подходит для нелинейных зависимостей, где обратный ход может иметь два решения или не выражаться так просто.
В прикладной задаче найденный x нужно проверять на смысл: время, длина или количество не всегда могут быть отрицательными.

Подробное объяснение

Линейная функция y = kx + b сначала умножает аргумент на k, а затем прибавляет b. Чтобы восстановить аргумент по известному значению y, действия выполняют в обратном порядке: сначала убирают прибавление b, потом убирают умножение на k.

Вывод совпадает с решением обычного линейного уравнения. Из y = kx + b получаем y - b = kx, а затем делим обе части на k. Условие k не равно 0 обязательно: только при ненулевом коэффициенте каждому значению y соответствует не более одного x.

Знак коэффициента влияет на результат. Если k положителен, большие значения y соответствуют большим x. Если k отрицателен, увеличение y означает уменьшение x. Поэтому при обратных задачах полезно не только считать, но и мысленно проверять направление изменения.

В 7 классе такая формула связывает тему функций с линейными уравнениями. Она показывает, что график, таблица и алгебраическое преобразование говорят об одной и той же зависимости. На графике найденный x - это абсцисса точки прямой с заданной ординатой y.

Особенно внимательно нужно относиться к свободному члену. Вычитать надо именно b, включая его знак. Если функция записана как y = 3x - 4, то b = -4, и выражение y - b превращается в y + 4.

Перед подстановкой стоит проверить, в какой форме записана зависимость. Иногда уравнение надо сначала привести к стандартному виду, иначе коэффициенты будут прочитаны неверно. После вычисления координаты полезно выполнить обратную проверку: точка должна снова дать верное равенство.

Как пользоваться формулой

Запишите функцию в виде y = kx + b и определите k и b с учетом знаков.
Проверьте, что k не равен нулю.
Подставьте заданное значение y в числитель y - b.
Выполните вычитание свободного члена, особенно аккуратно при отрицательном b.
Разделите полученный результат на k.
Проверьте ответ прямой подстановкой в исходную функцию.

Историческая справка

Обратные вычисления появились в алгебре раньше современной терминологии функций. Уже практические задачи древних школ сводились к вопросу: если после действий с неизвестным числом получен результат, каким было исходное число? В буквенной алгебре XVI-XVII веков такие задачи стали записывать как уравнения, а равносильные преобразования постепенно получили современный вид.

Когда в XVII веке координатный метод связал уравнения с точками плоскости, обратная задача получила геометрическую трактовку. Найти x по заданному y стало означать найти абсциссу точки на прямой с заданной высотой. В XVIII-XIX веках понятие функции оформилось в учебниках, и линейная функция заняла место первого примера зависимости, где прямой и обратный ход легко видны.

В школьной программе 7 класса эта формула не выделяется как отдельная историческая теорема. Она важна как мост между темами: решение линейного уравнения, чтение графика, составление таблицы значений и проверка координат точки.

Историческая линия формулы

Формула является следствием равносильных преобразований линейного уравнения. Ее корректнее относить к общей алгебраической традиции, развитию буквенной записи и координатного метода, а не к одному автору. В современной школьной записи она выражает общий координатный подход: коэффициенты формулы задают положение прямой и позволяют вычислять координаты без отдельного построения.

Пример

Дано: y = 4x - 6. Известно, что значение функции равно 14. Нужно найти аргумент x. Подстановка в формулу: x = (y - b) / k. Здесь k = 4, b = -6, y = 14, значит x = (14 - (-6)) / 4 = 20 / 4 = 5. Ответ: x = 5. Проверка: подставим найденный аргумент в исходную функцию: 4 · 5 - 6 = 20 - 6 = 14. Получилось заданное значение, значит обратное вычисление выполнено верно. Если бы забыли, что b = -6, получили бы (14 - 6)/4 = 2, что проверку не проходит. Развернутая запись решения. Условие: Для функции y = 5x - 7 известно, что y = 18. Найдите x. Дано: x - искомый аргумент функции; y - известное значение функции; k - ненулевой коэффициент при аргументе; b - свободный член линейной функции. Требуется получить искомую величину и проверить ее по исходному условию. Подстановка и вычисление: x = (18 - (-7)) / 5 = 25 / 5 = 5. Ответ: x = 5. Проверка выполняется обратной подстановкой: найденное значение возвращают в исходную формулу или уравнение и смотрят, получается ли заданная координата или верное равенство. Это особенно важно при отрицательных коэффициентах и свободных членах.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - неверно определить b в записи y = kx - 6: свободный член равен -6, а не 6. Вторая ошибка - делить y на k до вычитания b. Нельзя использовать формулу при k = 0: постоянная функция не позволяет восстановить единственный аргумент. В текстовых задачах найденный x нужно сопоставлять с областью смысла. Надежная проверка - подставить найденную координату или значение обратно в исходную формулу. Если равенство не выполняется, обычно ошибка в знаке свободного члена, порядке координат или делении на коэффициент.

Практика

Задачи с решением

Поиск аргумента

Условие. Для функции y = 5x - 7 известно, что y = 18. Найдите x.

Решение. x = (18 - (-7)) / 5 = 25 / 5 = 5.

Ответ. x = 5

Обратная задача

Условие. Функция y = -2x + 9 принимает значение 1. Найдите аргумент.

Решение. x = (1 - 9) / (-2) = -8 / (-2) = 4.

Ответ. x = 4

Дополнительные источники

ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по математике: линейные уравнения и графики функций
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение
Никольский С. М. и др. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение

Связанные формулы

Математика

Линейная функция

$y = kx + b$

Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.

Математика

Корень линейного уравнения ax + b = 0

$x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$

Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент

$y-y_1=k(x-x_1)$

Если известны точка прямой и ее угловой коэффициент, уравнение можно записать в виде y - y1 = k(x - x1). Она уточняет, какие величины входят в запись y-y_1=k(x-x_1) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Угловой коэффициент прямой

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$

Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.

Математика

График линейной функции по двум точкам

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$

Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.

Математика

Прямая пропорциональность

$y = kx$

Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.