Все формулы РФ

Химия / Химическая кинетика

Интегральное уравнение Михаэлиса–Ментен для кривой прогресса

Интегральное уравнение связывает время и остаточную концентрацию субстрата во всей кривой прогресса, а не только её начальный наклон. Оно следует из d[S]/dt=−Vmax[S]/(Km+[S]) и полезно, когда [S] заметно убывает во время опыта.

Опубликовано: Обновлено:

Химическая кинетикаФерментативная кинетикаРучной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$V_{max}t=[S]_0-[S](t)+K_m\ln\frac{[S]_0}{[S](t)}$$
Схема Концентрация субстрата на кривой прогресса
036912150246810[S], мМt, минОстаток субстрата

При исходных 10 мМ половина субстрата расходуется примерно за 6,386 минуты. Наклон по мере расхода становится положе.

Обозначения

$Vmax$
предельная скорость расходования субстрата, моль·л⁻¹·с⁻¹
$t$
время после начала реакции, с
$[S]₀$
начальная концентрация субстрата, моль·л⁻¹
$[S](t)$
концентрация субстрата в момент t, моль·л⁻¹
$Km$
параметр Михаэлиса в данных условиях, моль·л⁻¹

Условия применения

Предполагаются один субстрат, практически необратимый расход S, постоянные Vmax и Km, отсутствие заметного ингибирования продуктом и стабильный активный фермент. До интегрирования допускается стационарное приближение обычной Михаэлиса–Ментен кинетики и избыток S над ферментом. Измеряемая величина должна быть именно концентрацией субстрата либо корректно пересчитанным стехиометрическим эквивалентом продукта.

Ограничения

Уравнение не годится при обратной реакции, расходе фермента, изменении pH, субстратном ингибировании, переносе вещества или заметном запаздывании прибора. Оно не превращает Km в истинную константу диссоциации и не отменяет необходимость оценивать погрешности. Нельзя логарифмировать нулевую или отрицательную концентрацию. Для очень ранних точек выражение должно переходить к начальному наклону, но подстановка шумных разностей может быть нестабильной.

Подробное объяснение

Дифференциальная форма Михаэлиса–Ментен говорит, что по мере уменьшения [S] скорость меняется: −d[S]/dt=Vmax[S]/(Km+[S]). Поэтому прямая, проведённая с начальной скоростью, корректна лишь на коротком участке. Интегральная форма использует всю историю расхода субстрата и явно показывает замедление около и ниже Km.

Разделяем переменные: (Km+[S])/[S] d[S]=−Vmax dt. После интегрирования от [S]₀ до [S](t) получаем Vmax t=[S]₀−[S]+Km ln([S]₀/[S]). Первый член — линейный расход при насыщении, логарифмический член становится важным, когда субстрата мало.

Все слагаемые имеют размерность концентрации: Vmax t — концентрация, логарифм безразмерен и умножен на Km. Это быстрая проверка записи. При t=0 правая часть равна нулю. Если [S] близка к [S]₀, локальный наклон совпадает с Vmax[S]₀/(Km+[S]₀), что связывает интегральную и начальную формы.

Для заданного t явное [S] выражается функцией Ламберта W, но в учебной и лабораторной практике часто удобнее решить приведённое неявное уравнение численно. Подгонка целой кривой может использовать больше точек, однако не делает необратимое приближение верным до полного истощения: при малом S особенно проверяют обратную реакцию, продукт и стабильность фермента.

Как пользоваться формулой

  1. Переведите Vmax в концентрацию в единицу времени, а Km, [S]₀ и [S](t) — в одну концентрационную единицу.
  2. Для известной точки подставьте [S]₀, [S](t) и Km в правую часть и разделите на Vmax, чтобы получить t.
  3. Для известного времени решайте уравнение по [S] только на интервале от нуля до [S]₀.
  4. Проверьте t=0 и ранний наклон: они должны согласовываться с исходной дифференциальной скоростью.
  5. Сравните остатки временных точек; систематический изгиб означает, что условия простой модели нарушены.

Историческая справка

Михаэлис и Ментен в 1913 году измеряли кривые хода реакции инвертазы, а не только отдельные начальные точки. Их работа стала основой количественного описания ферментативного насыщения. Позднейшая стационарная трактовка Бриггса и Холдейна сделала дифференциальную форму особенно удобной для начальных скоростей, но интерес к полным кривым сохранялся.

В конце XX и начале XXI века анализ кривых прогресса получил новый импульс из-за численной подгонки и явного решения через функцию Ламберта W. Публикация Марко Голичника 2011 года подробно сопоставила точные и приближённые интегральные решения. Историческая связь важна: интегральная запись не является новой реакцией, а выводится из той же модели при дополнительных предположениях о постоянстве параметров на всём временном интервале.

Историческая линия формулы

Интегральная форма не имеет отдельного первооткрывателя вне истории модели Михаэлиса–Ментен и её стационарного развития. Она получается обычным интегрированием дифференциального закона. Современная явная запись через Lambert W получила широкое педагогическое обсуждение в работах по анализу кривых прогресса, в частности у Марко Голичника.

Пример

Пусть [S]₀=10,0 мМ, Km=2,0 мМ, Vmax=1,0 мМ·мин⁻¹. Найдём время, когда [S] станет 5,0 мМ. Правая часть равна 10−5+2 ln(10/5)=5+2 ln2≈6,386 мМ. Делим на 1,0 мМ·мин⁻¹: t≈6,386 мин. Начальная скорость была бы 1·10/(2+10)=0,833 мМ·мин⁻¹, поэтому расход первых 5 мМ за шесть с лишним минут правдоподобен: по мере падения S скорость уменьшается. Эта оценка относится к интервалу, на котором Vmax и Km остаются постоянными; близко к полному истощению субстрата особенно важна проверка обратной реакции и стабильности фермента. Размерность также верна: мМ делится на мМ·мин⁻¹ и даёт минуты.

Частая ошибка

Не пишите линейно [S]=[S]₀−Vmax t: это допустимо только при [S]≫Km. Ошибка — использовать ln([S]/[S]₀) без соответствующего изменения знака. Не смешивайте мМ с моль/л в разности и логарифме. Не подставляйте концентрацию продукта вместо S без учёта стехиометрии и фона. И не интерпретируйте хорошую подгонку как доказательство отсутствия ингибирования продуктом: альтернативные модели могут давать похожий участок кривой.

Практика

Задачи с решением

Время до заданной концентрации

Условие. [S]₀=8 мМ, [S]=2 мМ, Km=1 мМ, Vmax=0,5 мМ·мин⁻¹. Найдите t.

Решение. Vmax t=8−2+ln(8/2)=6+ln4≈7,386 мМ. Делим на 0,5.

Ответ. t≈14,77 мин.

Проверка ранней скорости

Условие. При [S]₀=6 мМ, Km=2 мМ, Vmax=0,80 мМ·с⁻¹ найдите начальный модуль d[S]/dt.

Решение. Подставляем начальную концентрацию в дифференциальную форму: Vmax[S]₀/(Km+[S]₀)=0,80·6/8.

Ответ. 0,60 мМ·с⁻¹; концентрация S убывает с этой скоростью.

Дополнительные источники

  • https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3381512/
  • https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/21445903/
  • https://acta-arhiv.chem-soc.si/59/59-1-207.pdf

Связанные формулы

Химия

Субстратное ингибирование фермента: уравнение Холдейна

$v_0=\frac{V_{max}[S]}{K_m+[S]+[S]^2/K_i},\qquad [S]_{opt}=\sqrt{K_mK_i}$

Уравнение субстратного ингибирования описывает ферментную реакцию, в которой избыток того же субстрата замедляет начальную скорость. В отличие от обычной гиперболы Михаэлиса–Ментен, кривая имеет максимум: после оптимальной концентрации [S] скорость падает.

Химия

Смешанное ингибирование фермента: параметры α и α′

$v_0=\frac{V_{max}[S]}{\alpha K_m+\alpha^{\prime}[S]},\quad\alpha=1+\frac{[I]}{K_i},\quad\alpha^{\prime}=1+\frac{[I]}{K_i^{\prime}}$

Смешанное ингибирование описывает обратимое связывание ингибитора и со свободным ферментом E, и с комплексом ES, но с разными константами. Параметры α и α′ меняют соответственно член с Km и член с [S], поэтому вид кривой нельзя свести к чисто конкурентному или чисто неконкурентному случаю.

Химия

Ping-pong Bi–Bi: начальная скорость двухсубстратной реакции

$v_0=\frac{V_{max}[A][B]}{K_B[A]+K_A[B]+[A][B]}$

Формула Ping-pong Bi–Bi задаёт начальную скорость реакции с двумя субстратами A и B, если фермент после первого превращения переходит во временно изменённую форму E′ и только затем связывает B. В такой схеме нет тройного комплекса EAB, а оба субстрата ограничивают скорость.

Химия

Интегральный закон скорости реакции первого порядка

$\ln\left(\frac{c_0}{c}\right)=kt$

Интегральный закон первого порядка связывает текущую концентрацию реагента с начальной концентрацией, константой скорости и временем. Он позволяет восстановить c, k или t по трём известным величинам.

Химия

Каталитическая константа фермента: расчёт kcat

$k_{cat}=\frac{V_{max}}{[E]_{T}}$

Каталитическая константа kcat — отношение предельной скорости ферментной реакции к общей концентрации активных каталитических центров. Она выражает число оборотов на центр в единицу времени при насыщении субстратом в принятой модели.

Химия

Каталитическая эффективность фермента kcat/Km

$\frac{k_{cat}}{K_m}=\frac{V_{max}}{[E]_T K_m}$

Отношение kcat/Km характеризует начальную скорость ферментной реакции при низкой концентрации субстрата в модели Михаэлиса — Ментен. Оно связывает скорость с концентрациями активных центров и субстрата.