Математика
пределы, ряды, функции нескольких переменных
107 формул
Показаны 61-107 из 107. Продолжение находится на соседних страницах темы.
Если |q|<1, бесконечная геометрическая сумма равна a_1/(1-q). Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Если ряд сходится, то его члены обязательно стремятся к нулю; это обязательный, но не достаточный тест. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Гармонический ряд является эталоном: член 1/n→0 слишком медленно для сходимости. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Сходимость p-рядов полностью описывается значением p относительно 1. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Сравнение с уже изученным рядом позволяет быстро переносить сходимость и расходимость. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Отношение соседних членов определяет геометрический тип убывания ряда в хвосте. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Критерий уплотнения (Коши) сводит ряд к подвыборке с индексом 2^n. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Классификация разделяет устойчивую сходимость от сходимости за счёт знакопеременного баланса. Страница фиксирует условия применения, типичный способ проверки и связь с соседними признаками сходимости, чтобы правило не выглядело изолированной заготовкой.
Предел функции двух переменных описывает число, к которому стремится f(x,y), когда точка (x,y) приближается к (a,b) по любому допустимому пути в плоскости.
Частная производная показывает скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной второй переменной, то есть локальный наклон сечения поверхности.
Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных.
Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор.
Полный дифференциал задает линейную главную часть изменения функции при малых одновременных изменениях x и y.
Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных.
Необходимые условия экстремума требуют, чтобы в гладкой внутренней точке локального максимума или минимума обе частные производные обращались в ноль.
Критерий Гессе классифицирует стационарную точку функции двух переменных через вторые производные и определитель матрицы Гессе.
Якобиан показывает локальный коэффициент изменения площади или объема при замене переменных и входит в формулу кратных интегралов.
Двойной интеграл складывает значения функции по плоской области и дает общий вклад распределенной величины. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Повторный интеграл записывает двойной интеграл как два обычных интегрирования по подходящим пределам. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Тройной интеграл суммирует значения функции по объему трехмерного тела. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Полярные координаты превращают круговые и радиальные области в простые пределы по радиусу и углу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Цилиндрические координаты расширяют полярные координаты на пространство и удобны для тел с осевой симметрией. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Сферические координаты лучше всего подходят для шаров, сферических слоев и тел с центральной симметрией. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Якобиан измеряет, во сколько раз локально растягивается или сжимается площадь или объем при замене переменных. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Площадь области можно вычислить как двойной интеграл от единицы по этой области. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Объем тела равен тройному интегралу от единицы по этому телу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Центр масс показывает, где сосредоточен средний вес распределения в плоскости или в пространстве. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.
Криволинейный интеграл 1 рода суммирует скалярную функцию вдоль кривой, взвешивая ее значение элементом длины дуги. Он применяется, когда величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру.
Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным.
Поверхностный интеграл 1 рода (скалярный) суммирует взвешенную величину по поверхности. Он применяется, когда нужно взять интеграл от плотности массы, температуры или другой скалярной характеристики по оболочке, листу или пластине.
Поток показывает, какая часть поля проходит через поверхность со стороны нормали. Это ориентированная величина: положительный вклад дает выход или вход в зависимости от принятой ориентации поверхности.
Дивергенция измеряет локальную плотность источников и стоков поля: насколько в этой точке поле «вытекает» или «втягивается» из окрестности. Она служит точной связкой между локальной производной поля и глобальным потоком через границу.
Ротор описывает локальную циркуляцию (вихревость) поля. Он показывает, в каком направлении и с какой интенсивностью маленький элемент среды «крутится» под действием поля в окрестности точки.
Теорема Грина связывает ориентированный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области в плоскости. Это ключевая связь между циркуляцией по границе и «внутренней» завихренностью через Q_x−P_y.
Теорема Гаусса-Остроградского переводит объемный интеграл дивергенции в поток через границу замкнутой области. Это ключевая связь локальных источников и глобального выхода поля.
Теорема Стокса связывает поток ротора через поверхность с интегралом 2 рода по ее ориентированному краю. Она обобщает идею Грина на трехмерные поверхности и связывает локальную завихренность с граничной циркуляцией.
Поле называется потенциальным, если его криволинейный интеграл 2 рода зависит только от концов пути. В такой ситуации интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, а поле представляется градиентом потенциала.
Степенной ряд — это бесконечная сумма, где каждый следующий член строится по одному шаблону степени относительно фиксированного центра a. В таком виде функция описывается через бесконечное многочленное приближение, а локальное поведение переменной x становится управляемым по степеням (x−a). Для практики это удобно: один набор коэффициентов {a_n} определяет весь шаблон приближения и задает область, где сумма имеет смысл.
Радиус сходимости R определяет главный «каркас» степенного ряда: внутри интервала (a−R,a+R) ряд сходится, вне его расходится. В этом месте удобно разделять задачу на два этапа: сначала анализировать общий коэффициентный шаблон через limsup (или эквивалентный признак отношения), затем отдельно проверять концы. Такой подход резко снижает риск пропуска тонких случаев.
После нахождения радиуса сходимости остаётся завершить задачу, исследовав сам интервал. Внутри I ряд гарантированно сходится, вне I расходится, а на концах R-круговой границы возможны любые варианты: сходящийся, расходящийся или условно сходящийся. Поэтому интервал сходимости всегда строится в два шага: «внутри/снаружи» по R и «границы» по отдельным критериям.
Формула Тейлора описывает функцию через начальные производные в точке a и остаточный член, который контролирует точность обрезки. В задачах это даёт не только аппроксимацию, но и механизм проверки погрешности через ξ между a и x. Такой подход делает разложение вычислительно безопасным.
Это базовый специальный случай Тейлора в точке a=0. Ключевой плюс разложения в нуле — все производные e^x в 0 равны 1, поэтому коэффициенты просты и серия даёт очень удобную рабочую модель для вычислений, линейных аппроксимаций и решения задач на оценку роста.
Маклореновский ряд синуса — стандартное чередующееся разложение с только нечётными степенями. Это делает его удобным для численного приближения на малых x и для сравнения с рядом косинуса в задачах на дифференцирование и интегрирование.
Косинус разлагается в чётные степени с чередованием знаков, что делает его удобным для оценки и для вычислений вблизи нуля. Это разложение естественно дополняет ряд синуса и часто используется вместе с ним в задачах колебаний и в методах линейного приближения.
Это одно из самых практичных разложений для логарифма возле нуля. Оно позволяет считать ln(1+x) на малых x через полином с контролируемым остатком, что удобно в задачах с относительными изменениями и экономическими/приблизительными моделями.
Биномиальный ряд обобщает двойную степень и рациональные степени через обобщенные биномиальные коэффициенты. Он расширяет идею (1+x)^m на нецелое α и даёт удобный локальный аппарат для корней и дробных степеней.
Внутри круга сходимости степень по степеням можно дифференцировать и интегрировать член за членом, сохраняя тот же центр и радиус сходимости. Это делает ряды удобным вычислительным контуром: сложная функция заменяется полиномиальной моделью, которая легко подвергается операциям.
