Содержание
Есть историческая справка, страница 14
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
1375 формул
Таблица формул
Показаны 781-840 из 1375. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Орбитальный механический момент электрона | $L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ | Молекулярная физика | Орбитальный механический момент электрона описывает модуль орбитального углового момента электрона через орбитальное квантовое число. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по квантовой механике атома. |
| Орбитальный магнитный момент | $\boldsymbol{\mu}_L=-\frac{e}{2m_e}\mathbf L=-\mu_B\frac{\mathbf L}{\hbar}$ | Молекулярная физика | Орбитальный магнитный момент описывает магнитный момент, связанный с орбитальным движением электрона. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по атомной физике. |
| Процент от числа в задачах 7 класса | $p\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\cdot a$ | Арифметика и теория чисел | Процент от числа показывает, какая часть величины соответствует p сотым долям. Формула переводит проценты в дробь и умножает эту дробь на исходное число. |
| Число по его проценту | $a=\frac{b\cdot100}{p}$ | Арифметика и теория чисел | Число по его проценту находят, когда известна часть b и известно, что эта часть составляет p% от целого. Формула восстанавливает исходное целое делением на долю. |
| Процентное изменение | $r=\frac{b-a}{a}\cdot100\%$ | Арифметика и теория чисел | Процентное изменение показывает, на сколько процентов новая величина b отличается от исходной величины a. Знак результата показывает рост или уменьшение. |
| Среднее арифметическое для набора чисел | $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$ | Вероятность и статистика | Среднее арифметическое равно сумме всех значений, деленной на их количество. Оно показывает, какое одинаковое значение пришлось бы на каждый объект при равномерном распределении суммы. |
| Медиана набора чисел | $Me=x_{(\frac{n+1}{2})}\text{ при нечетном }n,\quad Me=\frac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}\text{ при четном }n$ | Вероятность и статистика | Медиана - это центральное значение упорядоченного набора. При нечетном количестве чисел берут средний элемент, при четном - среднее двух центральных. |
| Масштаб чертежа | $M=\frac{l_{\text{чертеж}}}{l_{\text{натура}}}$ | Геометрия | Масштаб показывает отношение длины на чертеже к соответствующей реальной длине. Он позволяет уменьшать или увеличивать изображение без изменения формы объекта. |
| Скорость, время и расстояние | $s=vt,\quad v=\frac{s}{t},\quad t=\frac{s}{v}$ | Алгебра | Формулы движения связывают расстояние, скорость и время при равномерном движении. Зная две величины, можно найти третью. |
| Работа через производительность и время | $A=pt,\quad p=\frac{A}{t},\quad t=\frac{A}{p}$ | Алгебра | В задачах на работу объем выполненной работы равен производительности, умноженной на время. Формула похожа на связь пути, скорости и времени. |
| Дискриминант квадратного уравнения в 8 классе | $D=b^2-4ac$ | Алгебра | Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 показывает, сколько действительных корней может иметь уравнение и какие дальнейшие действия нужны. |
| Корни квадратного уравнения через дискриминант | $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\quad D=b^2-4ac$ | Алгебра | Формула корней квадратного уравнения находит значения x, при которых ax^2 + bx + c обращается в ноль. Она использует дискриминант и коэффициенты уравнения. |
| Теорема Виета для приведенного и полного квадратного уравнения | $x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$ | Алгебра | Теорема Виета связывает сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведенного уравнения сумма равна -p, произведение равно q. |
| Квадратный корень из произведения | $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b},\quad a\ge0,\;b\ge0$ | Алгебра | Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению их квадратных корней. Условия a >= 0 и b >= 0 обязательны в действительных числах. |
| Квадратный корень из дроби | $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge0,\;b>0$ | Алгебра | Квадратный корень из дроби равен дроби из квадратных корней числителя и знаменателя, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Свойство степени с целым показателем | $a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\ne0,\;n\in\mathbb{N}$ | Алгебра | Степень с отрицательным целым показателем означает обратную величину к степени с положительным показателем. Основание при этом не должно быть нулем. |
| Обратная пропорциональность | $y=\frac{k}{x},\quad x\ne0$ | Функции и графики | Обратная пропорциональность задает зависимость, при которой произведение x и y постоянно. Если одна величина увеличивается, другая уменьшается во столько же раз. |
| Площадь трапеции через основания и высоту | $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ | Геометрия | Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Формула учитывает две параллельные стороны и расстояние между ними. |
| Площадь ромба через произведение диагоналей | $S=\frac{d_1d_2}{2}$ | Геометрия | Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Формула удобна, когда известны обе диагонали, а высота или сторона не даны. |
| Средняя линия треугольника в задачах 8 класса | $m=\frac{a}{2}$ | Геометрия | Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой третьей стороны. |
| Теорема Фалеса | $\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$ | Геометрия | Теорема Фалеса утверждает, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки. |
| Подобие треугольников по двум углам | $\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, а их стороны пропорциональны. |
| Удельная теплота парообразования в задачах 8 класса | $L=\frac{Q}{m}$ | Термодинамика | Удельная теплота парообразования показывает, какое количество теплоты нужно передать 1 кг жидкости при температуре кипения, чтобы полностью превратить ее в пар без изменения температуры. |
| Количество теплоты при парообразовании | $Q=Lm$ | Термодинамика | Количество теплоты при парообразовании равно произведению удельной теплоты парообразования на массу жидкости и показывает энергию, нужную для превращения ее в пар. |
| КПД нагревателя | $\eta=\frac{Q_{\text{полезн}}}{Q_{\text{затрач}}}$ | Термодинамика | КПД нагревателя показывает, какая часть затраченной энергии действительно пошла на полезное нагревание тела, жидкости или другого объекта. |
| Сопротивление проводника через удельное сопротивление | $R=\rho\frac{l}{S}$ | Электричество | Сопротивление однородного проводника равно произведению удельного сопротивления вещества на длину проводника, деленному на площадь поперечного сечения. |
| Последовательное соединение сопротивлений в 8 классе | $R=R_1+R_2+\dots+R_n$ | Электричество | При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений всех участков, потому что ток проходит через каждый элемент по очереди. |
| Параллельное соединение сопротивлений в 8 классе | $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\dots+\frac{1}{R_n}$ | Электричество | При параллельном соединении обратная величина общего сопротивления равна сумме обратных сопротивлений ветвей, потому что ток делится между несколькими путями. |
| Напряжение через работу электрического поля | $U=\frac{A}{q}$ | Электричество | Электрическое напряжение равно работе электрического поля по перемещению заряда, деленной на величину этого заряда. Это энергетическое определение вольта удобно для понимания работы источников тока. |
| Электрический заряд через силу тока | $q=It$ | Электричество | Электрический заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, равен произведению силы тока на время его протекания. |
| Количество теплоты по закону Джоуля — Ленца | $Q=I^2Rt$ | Электричество | Закон Джоуля — Ленца показывает, что количество теплоты, выделяющееся в проводнике с током, равно I²Rt и растет с квадратом силы тока. |
| Мощность электрического тока через сопротивление | $P=I^2R$ | Электричество | Мощность электрического тока на сопротивлении равна квадрату силы тока, умноженному на сопротивление, и показывает скорость выделения энергии. |
| Импульс тела в задачах 9 класса | $\vec p=m\vec v$ | Механика | Импульс тела равен произведению массы на скорость и является векторной величиной, которая характеризует количество механического движения тела. |
| Закон сохранения импульса для двух тел | $m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec u_1+m_2\vec u_2$ | Механика | Закон сохранения импульса утверждает, что в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна сумме импульсов после него. |
| Ускорение свободного падения около Земли | $g=\frac{GM}{R^2}$ | Механика | Ускорение свободного падения около Земли определяется массой Земли и расстоянием до ее центра: чем больше масса планеты и меньше радиус, тем больше g. |
| Центростремительное ускорение при движении по окружности | $a_c=\frac{v^2}{R}$ | Механика | Центростремительное ускорение при движении по окружности равно квадрату скорости, деленному на радиус, и направлено к центру окружности. |
| Период колебаний пружинного маятника | $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ | Колебания и волны | Период колебаний пружинного маятника равен 2π√(m/k): он увеличивается с массой груза и уменьшается при большей жесткости пружины. |
| Частота звуковой волны | $\nu=\frac{v}{\lambda}$ | Колебания и волны | Частота звуковой волны равна скорости распространения звука, деленной на длину волны, и показывает число колебаний источника за секунду. |
| Механическая энергия с учетом потенциальной и кинетической | $E=E_k+E_p=\frac{mv^2}{2}+mgh$ | Механика | Полная механическая энергия тела в поле тяжести равна сумме кинетической энергии движения и потенциальной энергии положения над выбранным уровнем. |
| Работа силы тяжести | $A=m g (h_1-h_2)$ | Механика | Работа силы тяжести равна произведению массы, ускорения свободного падения и уменьшения высоты тела относительно выбранного уровня. |
| Момент силы в школьной статике | $M=F l$ | Механика | Момент силы равен произведению силы на плечо силы и показывает вращательное действие силы относительно выбранной оси или точки опоры. |
| Условие равновесия рычага | $F_1l_1=F_2l_2$ | Механика | Рычаг находится в равновесии, когда моменты сил по разные стороны от точки опоры равны по модулю и направлены в противоположные стороны. |
| Средняя абсолютная ошибка MAE | $\mathrm{MAE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i|$ | Прогнозирование | MAE усредняет модули отклонений факта от прогноза и показывает типичный промах в исходных единицах. Метрика удобна для понятного сравнения моделей на одном горизонте, но не усиливает крупные ошибки. |
| Средняя квадратичная ошибка MSE | $\mathrm{MSE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2$ | Прогнозирование | MSE усредняет квадраты ошибок прогноза, поэтому крупные промахи влияют на итог сильнее мелких. Результат измеряется в квадрате исходных единиц и подходит для сравнения моделей на одной проверочной выборке. |
| Корень из среднеквадратичной ошибки RMSE | $\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}$ | Прогнозирование | RMSE - корень из MSE: он сохраняет штраф за крупные ошибки, но возвращает результат в исходные единицы. Метрика показывает типичный размер промаха модели на фиксированном горизонте и наборе фактов. |
| Средняя абсолютная процентная ошибка MAPE | $\mathrm{MAPE}=\frac{100\%}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i}\right|$ | Прогнозирование | MAPE показывает среднюю абсолютную ошибку прогноза в процентах от фактических значений. Метрика удобна для рядов разного масштаба, но требует аккуратности при нулевых и очень малых фактах. |
| Взвешенная абсолютная процентная ошибка WAPE | $\mathrm{WAPE}=\frac{\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i|}{\sum_{i=1}^{n}|y_i|}\cdot100\%$ | Прогнозирование | WAPE делит суммарную абсолютную ошибку на общий фактический объем. Метрика показывает долю промаха в процентах от всего спроса или оборота и сильнее отражает строки с большим весом. |
| Простое скользящее среднее | $\mathrm{SMA}_t=\frac{x_{t-k+1}+x_{t-k+2}+\ldots+x_t}{k}$ | Прогнозирование | SMA заменяет текущее значение средним по последним k наблюдениям. Это простая база для сглаживания шума и краткосрочного прогноза, но она запаздывает на трендах и резких разворотах. |
| Экспоненциальное сглаживание прогноза | $\hat{y}_{t+1}=\alpha y_t+(1-\alpha)\hat{y}_t$ | Прогнозирование | Экспоненциальное сглаживание обновляет прогноз как смесь последнего факта и прошлого сглаженного уровня. Коэффициент α задает, насколько быстро модель реагирует на свежие изменения ряда. |
| Линейная регрессия по методу наименьших квадратов | $\hat{\beta}_1=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2},\quad \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | OLS подбирает коэффициенты линейной регрессии так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной. Формула нужна, чтобы оценить связь факторов с числовой целью и получить воспроизводимый линейный прогноз. |
| Коэффициент детерминации R-squared | $R^2=1-\frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | R² показывает, какая доля разброса целевой переменной объяснена регрессионной моделью по сравнению с ее средним уровнем. Метрика полезна для одной выборки и спецификации, но сама по себе не доказывает причинность. |
| Стандартная ошибка регрессии | $s=\sqrt{\frac{SS_{res}}{n-p}}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | Стандартная ошибка регрессии оценивает типичный разброс остатков вокруг линии модели в единицах целевой переменной. Ее используют рядом с R², чтобы видеть не только долю объясненной вариации, но и размер промаха. |
| t-статистика коэффициента регрессии | $t=\frac{\hat{\beta}_j-\beta_{j,0}}{SE(\hat{\beta}_j)}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | t-статистика делит коэффициент регрессии на его стандартную ошибку и показывает, насколько оценка далека от нуля в масштабе неопределенности. Ее читают с учетом степеней свободы, p-value и спецификации модели. |
| Логистическая функция вероятности | $p=\frac{1}{1+e^{-z}},\quad z=\beta_0+\beta_1x_1+\ldots+\beta_kx_k}$ | Линейная регрессия, коэффициенты | Логистическая функция переводит линейный скор в вероятность от 0 до 1 по S-образной кривой. В аналитике бинарных событий она связывает факторы с шансом наступления класса и помогает выбрать порог решения. |
| Accuracy как доля правильных классификаций | $\mathrm{Accuracy}=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$ | Precision, recall | Accuracy - доля верных ответов среди всех объектов. Метрика быстро показывает общий уровень классификации, но хорошо читается только при сопоставимых классах и близкой цене ложных тревог и пропусков. |
| Precision для положительного класса | $\mathrm{Precision}=\frac{TP}{TP+FP}$ | Precision, recall | Precision показывает, какая часть объектов, помеченных моделью как положительные, действительно положительна. Метрика важна, когда ложные срабатывания дороги: модерация, лиды, диагностика, ручная проверка. |
| Recall для положительного класса | $\mathrm{Recall}=\frac{TP}{TP+FN}$ | Precision, recall | Recall показывает, какую долю настоящих положительных объектов модель нашла. Метрика важна, когда опаснее пропустить нужный случай, чем получить лишнее срабатывание: риск, дефекты, заявки. |
| F1-мера классификации для баланса precision и recall | $F_1=\frac{2\cdot Precision\cdot Recall}{Precision+Recall}$ | Precision, recall | F1 объединяет precision и recall через гармоническое среднее. Метрика полезна, когда нужно одним числом балансировать ложные срабатывания и пропуски, но true negative в расчет не входит. |
| Specificity классификатора | $\mathrm{Specificity}=\frac{TN}{TN+FP}$ | Precision, recall | Specificity показывает, какую долю настоящих отрицательных объектов модель оставила отрицательными. Метрика дополняет recall и важна там, где надо ограничить ложные тревоги при фиксированном положительном классе. |
| ROC AUC через пары объектов | $\mathrm{AUC}=\frac{N_{concordant}+0.5N_{tied}}{N_{positive}N_{negative}}$ | Precision, recall | ROC AUC оценивает ранжирование: насколько часто положительный объект получает скор выше отрицательного. Метрика не зависит от одного порога, но требует корректных скорингов и выбранного положительного класса. |