Содержание

Есть историческая справка, страница 5

Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.

379 формул

Таблица формул

Показаны 241-300 из 379. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Количество теплоты при нагревании	$Q = cm\Delta t$	Термодинамика	Количество теплоты при нагревании зависит от массы тела, удельной теплоемкости и изменения температуры.
Удельная теплота плавления	$Q = \lambda m$	Термодинамика	Количество теплоты при плавлении равно произведению удельной теплоты плавления на массу вещества.
Удельная теплота парообразования	$Q = Lm$	Термодинамика	Количество теплоты при парообразовании равно произведению удельной теплоты парообразования на массу.
Сила тока через заряд и время	$I = \frac{q}{t}$	Электричество	Сила тока равна электрическому заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за единицу времени.
Сопротивление проводника	$R = \rho \frac{l}{S}$	Электричество	Сопротивление проводника зависит от материала, длины и площади поперечного сечения.
Последовательное соединение сопротивлений	$R = R_1 + R_2 + \dots + R_n$	Электричество	При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех участков.
Параллельное соединение сопротивлений	$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$	Электричество	При параллельном соединении складываются величины, обратные сопротивлениям.
Работа электрического тока	$A = UIt$	Электричество	Работа электрического тока равна произведению напряжения, силы тока и времени.
Закон Джоуля-Ленца	$Q = I^2Rt$	Электричество	Закон Джоуля-Ленца определяет количество теплоты, выделяющееся в проводнике с током.
Формула тонкой линзы	$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$	Геометрическая оптика	Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения.
Оптическая сила линзы	$D = \frac{1}{F}$	Геометрическая оптика	Оптическая сила линзы равна величине, обратной фокусному расстоянию в метрах.
Длина вектора в Rn	$\\|x\\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$	Матрицы, определители	Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат.
Скалярное произведение векторов	$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$	Матрицы, определители	Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.
Косинус угла между векторами	$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\\|a\\|\,\\|b\\|}$	Матрицы, определители	Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол.
Матричное произведение	$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$	Матрицы, определители	Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.
Определитель матрицы 2x2	$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$	Матрицы, определители	Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.
Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса	$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$	Матрицы, определители	Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.
Обратная матрица 2x2	$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$	Матрицы, определители	Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.
Решение системы 2x2 по правилу Крамера	$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$	Матрицы, определители	Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю.
Ранг матрицы через миноры	$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$	Матрицы, определители	Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы.
След матрицы	$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$	Матрицы, определители	След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.
Характеристический многочлен матрицы 2x2	$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$	Матрицы, определители	Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.
Матричная форма системы линейных уравнений	$Ax=b$	Матрицы, определители	Матричная форма Ax = b записывает систему линейных уравнений как произведение матрицы коэффициентов на столбец неизвестных. Такая запись позволяет решать систему не как набор отдельных строк, а как единый линейный объект.
Расширенная матрица системы	$\left[A\mid b\right]$	Матрицы, определители	Расширенная матрица [A\|b] объединяет коэффициенты системы и правые части в одну таблицу. Она нужна для метода Гаусса, потому что при преобразовании строк меняются и коэффициенты, и правые части.
Элементарные преобразования строк	$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$	Матрицы, определители	Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки.
Прямой ход метода Гаусса	$R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$	Матрицы, определители	Прямой ход метода Гаусса зануляет коэффициенты под ведущими элементами. В результате система приводится к ступенчатому виду, из которого решение находят обратной подстановкой.
Обратная подстановка в методе Гаусса	$x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$	Матрицы, определители	Обратная подстановка находит неизвестные после прямого хода метода Гаусса. Она идет снизу вверх по ступенчатой системе: сначала последняя ведущая переменная, затем предыдущие.
Ступенчатый вид матрицы	$p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$	Матрицы, определители	Ступенчатый вид матрицы - это форма, где ведущие элементы ненулевых строк смещаются вправо при движении вниз, а под каждым ведущим элементом стоят нули.
Приведенный ступенчатый вид матрицы	$\operatorname{rref}(A)$	Матрицы, определители	Приведенный ступенчатый вид, или RREF, усиливает обычный ступенчатый вид: каждый ведущий элемент равен 1, а в его столбце все остальные элементы равны 0.
Метод Гаусса-Жордана	$\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$	Матрицы, определители	Метод Гаусса-Жордана продолжает метод Гаусса до приведенного ступенчатого вида. Если система имеет единственное решение, расширенная матрица превращается в [I\|x], и ответ читается сразу.
Ранг расширенной матрицы системы	$\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Ранг расширенной матрицы показывает, добавляет ли столбец правых частей новое независимое условие к строкам матрицы коэффициентов. Это ключ к проверке совместности системы.
Теорема Кронекера-Капелли	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Теорема Кронекера-Капелли дает точный критерий совместности линейной системы: решение существует тогда и только тогда, когда ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равны.
Мощность на валу через крутящий момент и угловую скорость	$P=M\omega$	Детали машин	Мощность на валу равна произведению крутящего момента на угловую скорость. Формула связывает силовую нагрузку вала с тем, как быстро он вращается.
Крутящий момент по мощности и оборотам	$M=\frac{9550P}{n}$	Детали машин	Крутящий момент в Н·м можно найти по мощности в кВт и частоте вращения в об/мин через инженерную формулу с коэффициентом 9550.
Касательное напряжение круглого вала при кручении	$\tau_{\max}=\frac{16M}{\pi d^3}$	Детали машин	Максимальное касательное напряжение в сплошном круглом валу при кручении зависит от крутящего момента и куба диаметра, поэтому диаметр сильно влияет на прочность.
Угол закручивания круглого вала	$\varphi=\frac{ML}{GJ},\quad J=\frac{\pi d^4}{32}$	Детали машин	Угол закручивания показывает крутильную жесткость вала: чем больше момент и длина, тем сильнее поворот, а чем больше модуль сдвига и полярный момент, тем вал жестче.
Нормальное напряжение в стержне или тяге	$\sigma=\frac{F}{A}$	Детали машин	Нормальное напряжение равно осевой силе, деленной на площадь поперечного сечения. Это базовая формула для растянутых и сжатых деталей машин.
Напряжение изгиба круглого вала	$\sigma_b=\frac{32M_b}{\pi d^3}$	Детали машин	Максимальное нормальное напряжение изгиба в сплошном круглом валу зависит от изгибающего момента и куба диаметра, как и напряжение кручения по размерной чувствительности.
Эквивалентное напряжение вала при изгибе и кручении	$\sigma_{\text{экв}}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}$	Детали машин	Эквивалентное напряжение по Мизесу объединяет нормальное напряжение изгиба и касательное напряжение кручения в одну величину для проверки пластического состояния.
Напряжение среза шпонки	$\tau_{\text{шп}}=\frac{2M}{d b l}$	Детали машин	Напряжение среза шпонки оценивает, выдержит ли шпонка передачу крутящего момента между валом и ступицей без срезания по рабочей площади.
Растягивающее напряжение в болте	$\sigma_b=\frac{F}{A_s}$	Детали машин	Растягивающее напряжение в болте равно осевой силе, деленной на расчетную площадь резьбы или опасного сечения, а не на площадь по наружному диаметру.
Расчетный ресурс подшипника L10	$L_{10}=\left(\frac{C}{P}\right)^p$	Детали машин	Ресурс L10 для подшипника качения показывает базовую расчетную долговечность в миллионах оборотов при 90% надежности по нагрузке C/P и показателю p.
Сумма диапазона в Excel и Google Таблицах	`=SUM(A1:A10)`	Базовые формулы Excel	Функция SUM складывает числа в указанном диапазоне ячеек. В русской локализации Excel она обычно отображается как СУММ, а в англоязычной записи и Google-формулах часто используется SUM.
Процент от числа в Excel и Google Таблицах	`=A2*B2`	Базовые формулы Excel	Чтобы найти процент от числа, базовое значение умножают на процентную ставку. В таблицах процент можно записать как 20% или как десятичную долю 0,2.
Абсолютная ссылка в Excel и Google Таблицах	`=$B$1*A2`	Базовые формулы Excel	Абсолютная ссылка фиксирует столбец и строку ячейки с помощью знаков доллара. Она нужна, чтобы при копировании формулы ссылка на ставку, курс или коэффициент не смещалась.
Условие IF / ЕСЛИ в Excel и Google Таблицах	`=IF(A2>=70,"OK","Проверить")`	Базовые формулы Excel	Функция IF возвращает одно значение, если условие истинно, и другое значение, если условие ложно. В русской локализации Excel она обычно отображается как ЕСЛИ.
Округление ROUND / ОКРУГЛ в Excel и Google Таблицах	`=ROUND(A2,2)`	Базовые формулы Excel	ROUND округляет число до заданного количества знаков. В русской локализации Excel функция обычно называется ОКРУГЛ, а количество знаков задается вторым аргументом.
Разница между датами в Excel и Google Таблицах	`=B2-A2`	Базовые формулы Excel	Разницу между двумя датами в днях можно найти обычным вычитанием: из конечной даты вычитают начальную. Таблицы хранят даты как числовые значения, поэтому такая формула работает напрямую.
Поиск значения XLOOKUP / ПРОСМОТРX	`=XLOOKUP(E2,A:A,B:B)`	Поиск и подстановка	XLOOKUP ищет значение в одном диапазоне и возвращает соответствующее значение из другого диапазона. В русской локализации Excel функция может отображаться как ПРОСМОТРX.
Сумма по условию SUMIF / СУММЕСЛИ	`=SUMIF(A:A,"Москва",B:B)`	Базовые формулы Excel	SUMIF складывает значения только для тех строк, которые соответствуют одному условию. В русской локализации Excel функция обычно называется СУММЕСЛИ.
Несколько условий IFS / ЕСЛИМН	`=IFS(A2>=90,"A",A2>=75,"B",A2>=60,"C",TRUE,"D")`	Базовые формулы Excel	IFS проверяет несколько условий по порядку и возвращает результат для первого выполненного условия. В русской локализации Excel функция обычно называется ЕСЛИМН.
IF / ЕСЛИ для двух вариантов результата в отчете	`=IF(B2>=C2,"План выполнен","Ниже плана")`	IF, IFS	IF проверяет одно логическое условие и возвращает один результат, если условие истинно, и другой результат, если оно ложно. В русской локализации Excel функция называется ЕСЛИ.
IFS / ЕСЛИМН для шкалы статусов и рейтингов	`=IFS(B2>=0.95,"Зеленый",B2>=0.8,"Желтый",TRUE,"Красный")`	IF, IFS	IFS проверяет несколько условий по порядку и возвращает результат для первого истинного условия. Функция удобна для шкал статусов, рейтингов, сегментов и пороговых правил.
AND и OR внутри IF для сложных условий	`=IF(AND(B2>=100000,C2="Да"),"VIP","Обычный")`	IF, IFS	AND и OR объединяют несколько проверок внутри IF. AND требует выполнения всех условий, а OR возвращает истину, если выполнено хотя бы одно из перечисленных условий.
SWITCH / ПЕРЕКЛЮЧ для фиксированных категорий	`=SWITCH(A2,"new","Новый","paid","Оплачен","cancel","Отменен","Проверить")`	IF, IFS	SWITCH сравнивает одно выражение с набором фиксированных значений и возвращает результат для найденного совпадения. Это удобно для кодов, статусов и коротких справочников.
IFERROR / ЕСЛИОШИБКА для понятного сообщения	`=IFERROR(B2/C2,"Нет данных для расчета")`	IF, IFS	IFERROR возвращает обычный результат формулы, если ошибки нет, и заданное сообщение или значение, если расчет завершился ошибкой. В Excel функция называется ЕСЛИОШИБКА.
COUNTIF и COUNTIFS: подсчет строк по условиям	`=COUNTIFS(A:A,"Москва",B:B,"Оплачен")`	IF, IFS	COUNTIF считает ячейки по одному условию, а COUNTIFS считает строки по нескольким условиям. Эти функции нужны, когда важен не итог суммы, а количество подходящих записей.
SUMIF и SUMIFS: сумма по одному или нескольким условиям	`=SUMIFS(C:C,A:A,"Москва",B:B,"Оплачен")`	IF, IFS	SUMIF складывает значения по одному условию, а SUMIFS складывает значения по нескольким условиям. Эти функции строят обновляемые итоги по категориям без ручной фильтрации.
AVERAGEIF и AVERAGEIFS: среднее по условиям	`=AVERAGEIFS(C:C,A:A,"Москва",B:B,"Оплачен")`	IF, IFS	AVERAGEIF считает среднее значение по одному условию, а AVERAGEIFS - по нескольким условиям. Формулы помогают сравнивать средний чек, срок, оценку или показатель только внутри нужной группы.
Проверка пустых ячеек через IF, ISBLANK и пустую строку	`=IF(ISBLANK(A2),"Заполнить",B2*C2)`	IF, IFS	Проверка пустой ячейки позволяет не запускать расчет, пока нет исходных данных, и показать понятное сообщение. Для этого используют IF с ISBLANK или сравнение с пустой строкой.