Содержание
Есть историческая справка, страница 4
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
379 формул
Таблица формул
Показаны 181-240 из 379. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Произведение степеней с одинаковым основанием | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | Алгебра | При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. |
| Частное степеней с одинаковым основанием | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$ | Алгебра | При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются. |
| Степень произведения | $(ab)^n = a^n b^n$ | Алгебра | Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя. |
| Степень степени | $(a^m)^n = a^{mn}$ | Алгебра | При возведении степени в степень показатели перемножаются. |
| Линейная функция | $y = kx + b$ | Функции и графики | Линейная функция задается формулой y = kx + b и имеет график в виде прямой. |
| Угловой коэффициент прямой | $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$ | Функции и графики | Угловой коэффициент прямой показывает, как меняется y при изменении x. |
| Сумма смежных углов | $\alpha + \beta = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма смежных углов равна 180 градусам. |
| Вертикальные углы | $\alpha = \beta$ | Геометрия | Вертикальные углы равны. |
| Сумма углов треугольника | $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма внутренних углов любого треугольника на плоскости равна 180 градусам. |
| Внешний угол треугольника | $\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$ | Геометрия | Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. |
| Периметр треугольника | $P = a + b + c$ | Геометрия | Периметр треугольника равен сумме длин трех его сторон. |
| Периметр прямоугольника | $P = 2(a + b)$ | Геометрия | Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. |
| Площадь прямоугольника | $S = ab$ | Геометрия | Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. |
| Расстояние между точками на координатной прямой | $d = |x_2 - x_1|$ | Алгебра | Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. |
| Приведение подобных слагаемых | $ka + ma = (k + m)a$ | Алгебра | Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям. |
| Произведение одночленов | $(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$ | Алгебра | Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов. |
| Степень одночлена | $(ax^m)^n = a^n x^{mn}$ | Алгебра | При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени. |
| Умножение многочлена на одночлен | $a(b + c) = ab + ac$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились. |
| Умножение многочлена на многочлен | $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые. |
| Вынесение общего множителя за скобки | $ab + ac = a(b + c)$ | Алгебра | Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе. |
| Разложение многочлена группировкой | $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ | Алгебра | Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы. |
| Линейное уравнение с двумя переменными | $ax + by = c$ | Алгебра | Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая. |
| Метод подстановки для системы линейных уравнений | $y = kx + b,\quad ax + by = c$ | Алгебра | Метод подстановки решает систему линейных уравнений так: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение. |
| Метод сложения для системы линейных уравнений | $a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$ | Алгебра | Метод сложения решает систему линейных уравнений за счет сложения или вычитания уравнений так, чтобы одна переменная исчезла. |
| Линейное уравнение вида ax + b = c | $ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$ | Алгебра | Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса. |
| Равносильные преобразования уравнения | $A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$ | Алгебра | Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент. |
| Прямая пропорциональность | $y = kx$ | Функции и графики | Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат. |
| График линейной функции по двум точкам | $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$ | Функции и графики | Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая. |
| Арифметический квадратный корень | \sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0 |
Алгебра | Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом. |
| Квадрат арифметического квадратного корня | $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ | Алгебра | Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений. |
| Квадратный корень из частного | \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0 |
Алгебра | Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Вынесение множителя из-под квадратного корня | $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ | Алгебра | Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем. |
| Внесение множителя под квадратный корень | a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0 |
Алгебра | Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}. |
| Сложение подобных квадратных корней | $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ | Алгебра | Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей. |
| Неполное квадратное уравнение x² = a | x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0) |
Алгебра | Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет. |
| Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 | $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ | Алгебра | Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя. |
| Корни приведенного квадратного уравнения | $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ | Алгебра | Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета. |
| Разложение квадратного трехчлена на множители | $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Алгебра | Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2). |
| Абсцисса вершины параболы | $x_0=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины. |
| Ордината вершины параболы | $y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$ | Функции и графики | Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции. |
| Ось симметрии параболы | $x=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам. |
| n-й член арифметической прогрессии | $a_n=a_1+(n-1)d$ | Алгебра | n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности. |
| Сумма первых n членов арифметической прогрессии | $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ | Алгебра | Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов. |
| n-й член геометрической прогрессии | $b_n=b_1 q^{n-1}$ | Алгебра | n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений. |
| Сумма первых n членов геометрической прогрессии | $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$ | Алгебра | Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1. |
| Классическая вероятность события | $P(A)=\frac{m}{n}$ | Вероятность и статистика | Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в конечном случайном опыте. |
| Расстояние между двумя точками на плоскости | $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Геометрия | Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной. |
| Координаты середины отрезка | M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right) |
Геометрия | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости. |
| Теорема Пифагора | $c^2 = a^2 + b^2$ | Геометрия | Теорема Пифагора связывает катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника. |
| Площадь треугольника через основание и высоту | $S = \frac{1}{2}ah$ | Геометрия | Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. |
| Площадь параллелограмма | $S = ah$ | Геометрия | Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. |
| Площадь трапеции | $S = \frac{a + b}{2}h$ | Геометрия | Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. |
| Площадь ромба через диагонали | $S = \frac{d_1d_2}{2}$ | Геометрия | Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. |
| Теорема Виета для квадратного уравнения | $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$ | Алгебра | Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. |
| Квадрат суммы | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы раскрывает квадрат двучлена через квадраты слагаемых и удвоенное произведение. |
| Квадрат разности | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат разности раскрывает квадрат двучлена с минусом через квадраты и удвоенное произведение. |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывает выражение a² - b² на произведение суммы и разности. |
| Свойство квадратного корня из произведения | $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$ | Алгебра | Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней. |
| Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике | $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ | Тригонометрия | Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. |
| Средняя линия треугольника | $m = \frac{a}{2}$ | Геометрия | Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. |