Содержание

Есть историческая справка, страница 11

Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.

808 формул

Таблица формул

Показаны 601-660 из 808. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Теорема о среднем для определенного интеграла	$\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a),\quad c\in[a,b]$	Пределы, ряды	Теорема о среднем утверждает, что интеграл непрерывной функции на отрезке равен значению функции в некоторой точке, умноженному на длину отрезка. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Равномерная непрерывность на отрезке	$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \|x-y\|<\delta\Rightarrow \|f(x)-f(y)\|<\varepsilon\quad(x,y\in E)$	Пределы, ряды	Равномерная непрерывность требует одного δ для всех точек множества E. На замкнутом отрезке всякая непрерывная функция равномерно непрерывна по теореме Гейне-Кантора.
Производная по направлению через градиент	$D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot \mathbf u,\quad \\|\mathbf u\\|=1$	Пределы, ряды	Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор направления. Она измеряет мгновенную скорость изменения функции вдоль выбранного луча.
Дивергенция в цилиндрических координатах	$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$	Пределы, ряды	Формула дивергенции в цилиндрических координатах учитывает изменение радиального, углового и осевого компонентов поля, включая геометрический множитель r у радиальной части.
Длина вектора в Rn	$\\|x\\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$	Матрицы, определители	Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат.
Скалярное произведение векторов	$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$	Матрицы, определители	Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.
Косинус угла между векторами	$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\\|a\\|\,\\|b\\|}$	Матрицы, определители	Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол.
Матричное произведение	$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$	Матрицы, определители	Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.
Определитель матрицы 2x2	$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$	Матрицы, определители	Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь.
Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса	$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$	Матрицы, определители	Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.
Обратная матрица 2x2	$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$	Матрицы, определители	Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор.
Решение системы 2x2 по правилу Крамера	$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$	Матрицы, определители	Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю.
Ранг матрицы через миноры	$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$	Матрицы, определители	Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы.
След матрицы	$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$	Матрицы, определители	След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.
Характеристический многочлен матрицы 2x2	$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$	Матрицы, определители	Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы.
Матричная форма системы линейных уравнений	$Ax=b$	Матрицы, определители	Матричная форма Ax = b записывает систему линейных уравнений как произведение матрицы коэффициентов на столбец неизвестных. Такая запись позволяет решать систему не как набор отдельных строк, а как единый линейный объект.
Расширенная матрица системы	$\left[A\mid b\right]$	Матрицы, определители	Расширенная матрица [A\|b] объединяет коэффициенты системы и правые части в одну таблицу. Она нужна для метода Гаусса, потому что при преобразовании строк меняются и коэффициенты, и правые части.
Элементарные преобразования строк	$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$	Матрицы, определители	Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки.
Прямой ход метода Гаусса	$R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$	Матрицы, определители	Прямой ход метода Гаусса зануляет коэффициенты под ведущими элементами. В результате система приводится к ступенчатому виду, из которого решение находят обратной подстановкой.
Обратная подстановка в методе Гаусса	$x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$	Матрицы, определители	Обратная подстановка находит неизвестные после прямого хода метода Гаусса. Она идет снизу вверх по ступенчатой системе: сначала последняя ведущая переменная, затем предыдущие.
Ступенчатый вид матрицы	$p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$	Матрицы, определители	Ступенчатый вид матрицы - это форма, где ведущие элементы ненулевых строк смещаются вправо при движении вниз, а под каждым ведущим элементом стоят нули.
Приведенный ступенчатый вид матрицы	$\operatorname{rref}(A)$	Матрицы, определители	Приведенный ступенчатый вид, или RREF, усиливает обычный ступенчатый вид: каждый ведущий элемент равен 1, а в его столбце все остальные элементы равны 0.
Метод Гаусса-Жордана	$\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$	Матрицы, определители	Метод Гаусса-Жордана продолжает метод Гаусса до приведенного ступенчатого вида. Если система имеет единственное решение, расширенная матрица превращается в [I\|x], и ответ читается сразу.
Ранг расширенной матрицы системы	$\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Ранг расширенной матрицы показывает, добавляет ли столбец правых частей новое независимое условие к строкам матрицы коэффициентов. Это ключ к проверке совместности системы.
Теорема Кронекера-Капелли	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Теорема Кронекера-Капелли дает точный критерий совместности линейной системы: решение существует тогда и только тогда, когда ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равны.
Проекция вектора на ненормированный вектор	$\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$	Матрицы, определители	Проекция вектора v на направление u вычисляется через скалярное произведение с нормированием на длину u. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него.
Разложение вектора на параллельную и перпендикулярную части	$v=\operatorname{proj}_{u}(v)+\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right),\quad u^{\top}\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right)=0$	Матрицы, определители	Любой вектор раскладывается на компоненту вдоль u и ортогональную остаточную часть. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него.
Первый вектор в Gram-Schmidt	$q_1=\frac{a_1}{\\|a_1\\|}$	Матрицы, определители	Нормировка первого столбца задает первый ортонормированный вектор. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
k-й шаг алгоритма Gram-Schmidt	$u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\\|u_k\\|}$	Матрицы, определители	Для каждого нового столбца убирают вклад уже построенных ортонормированных направлений, затем нормируют остаток. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Коэффициенты R через скалярные произведения	$R_{ij}=q_i^{\top}a_j,\quad a_j=\sum_{i=1}^{j}R_{ij}q_i,\quad R_{ij}=0\ (i>j)$	Матрицы, определители	После построения Q каждую колонку a_j раскладывают по уже найденным q_i. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Формула QR-разложения	$A = QR,\quad Q^{\top}Q=I_r,\quad R \text{ верхнетреугольная}$	Матрицы, определители	Матрица A раскладывается в произведение ортонормированной матрицы Q и верхнетреугольной R. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Проектор на span(Q)	$P=QQ^{\top},\quad P^2=P,\quad P^{\top}=P$	Матрицы, определители	Проецирование на пространство столбцов Q удобно через матрицу QQ^T. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода.
Наименьшие квадраты через QR	$\hat{x}=R^{-1}Q^{\top}b,\quad A=QR$	Матрицы, определители	После QR-раскладывания задача минимизации сводится к решению треугольной системы. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Нормальные уравнения в QR-форме	$A^T A x = A^T b,\quad R^T R x = R^T Q^T b$	Матрицы, определители	Из A=QR получаем эквивалентное равенство через R, сохраняя идею нормальных уравнений. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Остаток в задаче ЛС и его ортогональность	$r=b-A\hat{x},\quad A^T r=0,\quad Q^T r=0$	Матрицы, определители	Оптимальный LS-решение дает остаток, перпендикулярный всем столбцам A (и столбцам Q). Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Сингулярное разложение матрицы	$A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$	Матрицы, определители	Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения.
Ранг матрицы через сингулярные числа	$\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$	Матрицы, определители	Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных чисел. Эта формула связывает алгебраическое понятие размерности образа с численной диагностикой зависимости строк и столбцов.
Спектральная норма через сингулярные числа	$\\|A\\|_2=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$	Матрицы, определители	Спектральная норма матрицы равна ее наибольшему сингулярному числу. Она показывает максимальный коэффициент растяжения вектора при действии линейного отображения.
Норма Фробениуса через след и сингулярные числа	$\\|A\\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$	Матрицы, определители	Квадрат нормы Фробениуса равен следу матрицы A^T A, сумме квадратов всех элементов и сумме квадратов сингулярных чисел. Это удобная мера общего размера матрицы.
Циклическое свойство следа матрицы	$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$	Матрицы, определители	След произведения матриц не меняется при циклической перестановке множителей, если все произведения определены. Это свойство помогает упрощать доказательства, производные матричных функций и выражения с нормами.
Дополнение Шура	$S=D-CA^{-1}B$	Матрицы, определители	Дополнение Шура выражает эффективный блок матрицы после исключения другого блока. Оно появляется при блочном обращении матриц, решении систем, вычислении определителей и условных распределениях в статистике.
Обратная блочной матрицы через дополнение Шура	$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix},\quad S=D-CA^{-1}B$	Матрицы, определители	Формула обращает блочную матрицу через обратный блок A и обратное дополнение Шура. Она показывает, как получить обратную матрицу без обращения всей матрицы целиком.
Лемма об определителе матрицы	$\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)$	Матрицы, определители	Лемма об определителе показывает, как меняется определитель обратимой матрицы при ранговом обновлении uv^T. Вместо пересчета всего определителя достаточно вычислить один скаляр.
Формула Шермана-Моррисона	$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$	Матрицы, определители	Формула Шермана-Моррисона дает обратную матрицу после рангового обновления A+uv^T. Она позволяет обновить уже известную обратную матрицу без полного повторного обращения.
Формула Вудбери	$(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$	Матрицы, определители	Формула Вудбери обобщает обновление обратной матрицы на добавку малого ранга UCV. Она позволяет заменить обращение большой матрицы обращением меньшей матрицы.
Мощность на валу через крутящий момент и угловую скорость	$P=M\omega$	Детали машин	Мощность на валу равна произведению крутящего момента на угловую скорость. Формула связывает силовую нагрузку вала с тем, как быстро он вращается.
Крутящий момент по мощности и оборотам	$M=\frac{9550P}{n}$	Детали машин	Крутящий момент в Н·м можно найти по мощности в кВт и частоте вращения в об/мин через инженерную формулу с коэффициентом 9550.
Касательное напряжение круглого вала при кручении	$\tau_{\max}=\frac{16M}{\pi d^3}$	Детали машин	Максимальное касательное напряжение в сплошном круглом валу при кручении зависит от крутящего момента и куба диаметра, поэтому диаметр сильно влияет на прочность.
Угол закручивания круглого вала	$\varphi=\frac{ML}{GJ},\quad J=\frac{\pi d^4}{32}$	Детали машин	Угол закручивания показывает крутильную жесткость вала: чем больше момент и длина, тем сильнее поворот, а чем больше модуль сдвига и полярный момент, тем вал жестче.
Нормальное напряжение в стержне или тяге	$\sigma=\frac{F}{A}$	Детали машин	Нормальное напряжение равно осевой силе, деленной на площадь поперечного сечения. Это базовая формула для растянутых и сжатых деталей машин.
Напряжение изгиба круглого вала	$\sigma_b=\frac{32M_b}{\pi d^3}$	Детали машин	Максимальное нормальное напряжение изгиба в сплошном круглом валу зависит от изгибающего момента и куба диаметра, как и напряжение кручения по размерной чувствительности.
Эквивалентное напряжение вала при изгибе и кручении	$\sigma_{\text{экв}}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}$	Детали машин	Эквивалентное напряжение по Мизесу объединяет нормальное напряжение изгиба и касательное напряжение кручения в одну величину для проверки пластического состояния.
Напряжение среза шпонки	$\tau_{\text{шп}}=\frac{2M}{d b l}$	Детали машин	Напряжение среза шпонки оценивает, выдержит ли шпонка передачу крутящего момента между валом и ступицей без срезания по рабочей площади.
Растягивающее напряжение в болте	$\sigma_b=\frac{F}{A_s}$	Детали машин	Растягивающее напряжение в болте равно осевой силе, деленной на расчетную площадь резьбы или опасного сечения, а не на площадь по наружному диаметру.
Расчетный ресурс подшипника L10	$L_{10}=\left(\frac{C}{P}\right)^p$	Детали машин	Ресурс L10 для подшипника качения показывает базовую расчетную долговечность в миллионах оборотов при 90% надежности по нагрузке C/P и показателю p.
Сумма диапазона в Excel и Google Таблицах	`=SUM(A1:A10)`	Базовые формулы Excel	Функция SUM складывает числа в указанном диапазоне ячеек. В русской локализации Excel она обычно отображается как СУММ, а в англоязычной записи и Google-формулах часто используется SUM.
Процент от числа в Excel и Google Таблицах	`=A2*B2`	Базовые формулы Excel	Чтобы найти процент от числа, базовое значение умножают на процентную ставку. В таблицах процент можно записать как 20% или как десятичную долю 0,2.
Абсолютная ссылка в Excel и Google Таблицах	`=$B$1*A2`	Базовые формулы Excel	Абсолютная ссылка фиксирует столбец и строку ячейки с помощью знаков доллара. Она нужна, чтобы при копировании формулы ссылка на ставку, курс или коэффициент не смещалась.
Условие IF / ЕСЛИ в Excel и Google Таблицах	`=IF(A2>=70,"OK","Проверить")`	Базовые формулы Excel	Функция IF возвращает одно значение, если условие истинно, и другое значение, если условие ложно. В русской локализации Excel она обычно отображается как ЕСЛИ.
Округление ROUND / ОКРУГЛ в Excel и Google Таблицах	`=ROUND(A2,2)`	Базовые формулы Excel	ROUND округляет число до заданного количества знаков. В русской локализации Excel функция обычно называется ОКРУГЛ, а количество знаков задается вторым аргументом.