Содержание
Есть историческая справка, страница 13
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
1375 формул
Таблица формул
Показаны 721-780 из 1375. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Нормальные уравнения в QR-форме | $A^T A x = A^T b,\quad R^T R x = R^T Q^T b$ | Матрицы, определители | Из A=QR получаем эквивалентное равенство через R, сохраняя идею нормальных уравнений. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений. |
| Остаток в задаче ЛС и его ортогональность | $r=b-A\hat{x},\quad A^T r=0,\quad Q^T r=0$ | Матрицы, определители | Оптимальный LS-решение дает остаток, перпендикулярный всем столбцам A (и столбцам Q). Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений. |
| Сингулярное разложение матрицы | $A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$ | Матрицы, определители | Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения. |
| Ранг матрицы через сингулярные числа | $\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$ | Матрицы, определители | Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных чисел. Эта формула связывает алгебраическое понятие размерности образа с численной диагностикой зависимости строк и столбцов. |
| Спектральная норма через сингулярные числа | $\|A\|_2=\sigma_{\max}(A)=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$ | Матрицы, определители | Спектральная норма матрицы равна ее наибольшему сингулярному числу. Она показывает максимальный коэффициент растяжения вектора при действии линейного отображения. |
| Норма Фробениуса через след и сингулярные числа | $\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$ | Матрицы, определители | Квадрат нормы Фробениуса равен следу матрицы A^T A, сумме квадратов всех элементов и сумме квадратов сингулярных чисел. Это удобная мера общего размера матрицы. |
| Циклическое свойство следа матрицы | $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$ | Матрицы, определители | След произведения матриц не меняется при циклической перестановке множителей, если все произведения определены. Это свойство помогает упрощать доказательства, производные матричных функций и выражения с нормами. |
| Дополнение Шура | $S=D-CA^{-1}B$ | Матрицы, определители | Дополнение Шура выражает эффективный блок матрицы после исключения другого блока. Оно появляется при блочном обращении матриц, решении систем, вычислении определителей и условных распределениях в статистике. |
| Обратная блочной матрицы через дополнение Шура | $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix},\quad S=D-CA^{-1}B$ | Матрицы, определители | Формула обращает блочную матрицу через обратный блок A и обратное дополнение Шура. Она показывает, как получить обратную матрицу без обращения всей матрицы целиком. |
| Лемма об определителе матрицы | $\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)$ | Матрицы, определители | Лемма об определителе показывает, как меняется определитель обратимой матрицы при ранговом обновлении uv^T. Вместо пересчета всего определителя достаточно вычислить один скаляр. |
| Формула Шермана-Моррисона | $(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$ | Матрицы, определители | Формула Шермана-Моррисона дает обратную матрицу после рангового обновления A+uv^T. Она позволяет обновить уже известную обратную матрицу без полного повторного обращения. |
| Формула Вудбери | $(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$ | Матрицы, определители | Формула Вудбери обобщает обновление обратной матрицы на добавку малого ранга UCV. Она позволяет заменить обращение большой матрицы обращением меньшей матрицы. |
| Мощность на валу через крутящий момент и угловую скорость | $P=M\omega$ | Детали машин | Мощность на валу равна произведению крутящего момента на угловую скорость. Формула связывает силовую нагрузку вала с тем, как быстро он вращается. |
| Крутящий момент по мощности и оборотам | $M=\frac{9550P}{n}$ | Детали машин | Крутящий момент в Н·м можно найти по мощности в кВт и частоте вращения в об/мин через инженерную формулу с коэффициентом 9550. |
| Касательное напряжение круглого вала при кручении | $\tau_{\max}=\frac{16M}{\pi d^3}$ | Детали машин | Максимальное касательное напряжение в сплошном круглом валу при кручении зависит от крутящего момента и куба диаметра, поэтому диаметр сильно влияет на прочность. |
| Угол закручивания круглого вала | $\varphi=\frac{ML}{GJ},\quad J=\frac{\pi d^4}{32}$ | Детали машин | Угол закручивания показывает крутильную жесткость вала: чем больше момент и длина, тем сильнее поворот, а чем больше модуль сдвига и полярный момент, тем вал жестче. |
| Нормальное напряжение в стержне или тяге | $\sigma=\frac{F}{A}$ | Детали машин | Нормальное напряжение равно осевой силе, деленной на площадь поперечного сечения. Это базовая формула для растянутых и сжатых деталей машин. |
| Напряжение изгиба круглого вала | $\sigma_b=\frac{32M_b}{\pi d^3}$ | Детали машин | Максимальное нормальное напряжение изгиба в сплошном круглом валу зависит от изгибающего момента и куба диаметра, как и напряжение кручения по размерной чувствительности. |
| Эквивалентное напряжение вала при изгибе и кручении | $\sigma_{\text{экв}}=\sqrt{\sigma_b^2+3\tau_t^2}$ | Детали машин | Эквивалентное напряжение по Мизесу объединяет нормальное напряжение изгиба и касательное напряжение кручения в одну величину для проверки пластического состояния. |
| Напряжение среза шпонки | $\tau_{\text{шп}}=\frac{2M}{d b l}$ | Детали машин | Напряжение среза шпонки оценивает, выдержит ли шпонка передачу крутящего момента между валом и ступицей без срезания по рабочей площади. |
| Растягивающее напряжение в болте | $\sigma_b=\frac{F}{A_s}$ | Детали машин | Растягивающее напряжение в болте равно осевой силе, деленной на расчетную площадь резьбы или опасного сечения, а не на площадь по наружному диаметру. |
| Расчетный ресурс подшипника L10 | $L_{10}=\left(\frac{C}{P}\right)^p$ | Детали машин | Ресурс L10 для подшипника качения показывает базовую расчетную долговечность в миллионах оборотов при 90% надежности по нагрузке C/P и показателю p. |
| Масса вещества через количество вещества в химических расчетах | $m = n \cdot M$ | Базовые химические расчеты | Массу чистого вещества находят умножением количества вещества на молярную массу. Формула переводит моли в граммы и показывает, сколько весит заданная порция вещества. |
| Количество вещества через массу и молярную массу в химии | $n = \frac{m}{M}$ | Базовые химические расчеты | Количество вещества находят делением массы образца на молярную массу вещества. Формула переводит граммы в моли для дальнейших химических расчетов. |
| Число частиц через постоянную Авогадро | $N = n \cdot N_A$ | Базовые химические расчеты | Число частиц вещества находят умножением количества вещества на постоянную Авогадро. Формула переводит моли в атомы, молекулы, ионы или формульные единицы. |
| Относительная молекулярная масса вещества | $M_r = \sum A_r(i) \cdot \nu_i$ | Базовые химические расчеты | Относительную молекулярную массу находят сложением относительных атомных масс всех атомов в формуле вещества с учетом индексов. |
| Массовая доля элемента в составе вещества | $w(E)=\frac{A_r(E)\cdot \nu_E}{M_r(\text{вещества})}$ | Базовые химические расчеты | Массовая доля элемента показывает, какая часть массы вещества приходится на выбранный элемент. Ее находят как вклад атомов элемента в Mr, деленный на Mr всего вещества. |
| Масса элемента в образце вещества | $m(E)=w(E)\cdot m(\text{образца})$ | Базовые химические расчеты | Массу элемента в образце находят умножением массовой доли элемента на массу чистого вещества. Так переходят от состава соединения к граммам элемента. |
| Массовая доля примеси | $w_{\text{прим}}=\frac{m_{\text{прим}}}{m_{\text{образца}}}$ | Базовые химические расчеты | Массовая доля примеси показывает, какая часть массы образца не является основным веществом. Ее считают как отношение массы примесей к общей массе образца. |
| Выход продукта реакции | $\eta=\frac{m_{\text{практ}}}{m_{\text{теор}}}\cdot 100\%$ | Базовые химические расчеты | Выход реакции показывает, какую часть теоретически возможного продукта реально получили. Его находят как отношение практической массы продукта к теоретической. |
| Массовая доля растворенного вещества | $w=\frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}}$ | Растворы | Массовая доля растворенного вещества показывает, какая часть массы раствора приходится на растворенное вещество. Ее выражают долей единицы или процентами. |
| Масса растворенного вещества в растворе | $m_{\text{вещества}}=w\cdot m_{\text{раствора}}$ | Растворы | Массу растворенного вещества находят умножением массовой доли на массу раствора. Так процентный состав переводят в граммы вещества. |
| Масса раствора через массу вещества и массовую долю | $m_{\text{раствора}}=\frac{m_{\text{вещества}}}{w}$ | Растворы | Массу раствора находят делением массы растворенного вещества на его массовую долю. Формула показывает, сколько раствора содержит заданную массу вещества. |
| Разбавление раствора по массовой доле | $w_1 m_1 = w_2 m_2$ | Растворы | При разбавлении без потерь масса растворенного вещества сохраняется. Поэтому произведение массовой доли на массу раствора до и после разбавления одинаково. |
| Молярная концентрация раствора в школьной химии | $c=\frac{n}{V}$ | Растворы | Молярная концентрация показывает, сколько молей растворенного вещества содержится в одном литре раствора. Ее находят делением количества вещества на объем раствора. |
| Количество вещества через молярную концентрацию | $n=c\cdot V$ | Растворы | Количество растворенного вещества находят умножением молярной концентрации на объем раствора. Формула переводит моль/л и литры в моли. |
| Расчет массы продукта по уравнению реакции | $m_B=\frac{m_A}{M_A}\cdot\frac{\nu_B}{\nu_A}\cdot M_B$ | Стехиометрия | Массу продукта по уравнению реакции находят через моли исходного вещества, коэффициентное отношение и молярную массу продукта. |
| Расчет объема газа по уравнению реакции | $V_B=\frac{m_A}{M_A}\cdot\frac{\nu_B}{\nu_A}\cdot V_m$ | Стехиометрия | Объем газообразного продукта по уравнению реакции находят через количество исходного вещества, коэффициенты реакции и молярный объем газа. |
| Молярный объем газа при нормальных условиях в расчетах | $V = n \cdot V_m,\quad V_m \approx 22{,}4\ \text{л/моль}$ | Газы в химии | При нормальных условиях объем газа находят умножением количества вещества на молярный объем 22,4 л/моль. Это школьная модель для идеального газа. |
| Плотность газа через молярную массу и молярный объем | $\rho=\frac{M}{V_m}$ | Газы в химии | Плотность газа при заданных условиях находят делением молярной массы на молярный объем. При нормальных условиях часто используют Vm = 22,4 л/моль. |
| Относительная плотность газа по водороду | $D_{H_2}=\frac{M_{\text{газа}}}{M_{H_2}}=\frac{M_{\text{газа}}}{2}$ | Газы в химии | Относительная плотность газа по водороду показывает, во сколько раз данный газ тяжелее водорода при одинаковых условиях. Ее находят делением молярной массы газа на 2. |
| Тепловой эффект реакции по количеству вещества | $Q=n\cdot |\Delta H_{\text{на 1 моль}}|$ | Базовые химические расчеты | Тепловой эффект для заданного количества вещества находят умножением количества вещества на модуль молярного теплового эффекта реакции. |
| Средняя скорость молекулы идеального газа | $\bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ | Молекулярная физика | Средняя скорость молекулы идеального газа описывает средний модуль скорости молекул в равновесном идеальном газе. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по молекулярной физике. |
| Показатель преломления среды | $n=\frac{c}{v}$ | Геометрическая оптика | Абсолютный показатель преломления n=c/v показывает отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости света в среде при заданной частоте или длине волны. |
| Волновое число в оптике | $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ | Колебания и волны | Волновое число в оптике описывает пространственную скорость изменения фазы световой волны. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по волновой оптике. |
| Давление света | $p=\frac{I}{c}$ | Геометрическая оптика | Давление света описывает давление излучения на полностью поглощающую поверхность. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по оптике и электродинамике. |
| Закон Бугера - Ламберта - Бера | $I=I_0 e^{-\alpha x}$ | Геометрическая оптика | Закон Бугера - Ламберта - Бера описывает экспоненциальное ослабление света в однородном веществе. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по оптике поглощающих сред. |
| Закон Малюса | $I=I_0\cos^2\varphi$ | Геометрическая оптика | Закон Малюса описывает интенсивность линейно поляризованного света после анализатора. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по волновой оптике. |
| Закон смещения Вина | $\lambda_{\max}T=b$ | Термодинамика | Закон смещения Вина описывает положение максимума спектра абсолютно черного тела. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по тепловом излучении. |
| Длина волны видимого света | $380\,\text{нм}\lesssim \lambda \lesssim 750\,\text{нм}$ | Геометрическая оптика | Длина волны видимого света описывает примерный диапазон длин волн, воспринимаемых человеческим глазом. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по оптике и электромагнитном спектре. |
| Атомная единица массы | $1\,\text{а.е.м.}=\frac{1}{12}m(^{12}\mathrm C)\approx1{,}66054\cdot10^{-27}\,\text{кг}$ | Молекулярная физика | Атомная единица массы описывает масштаб масс атомов, ядер и частиц относительно атома углерода-12. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по атомной и ядерной физике. |
| Боровский радиус | $a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}\approx5{,}29\cdot10^{-11}\,\text{м}$ | Молекулярная физика | Боровский радиус описывает характерный размер основного состояния атома водорода. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по квантовой физике атома. |
| Дефект массы ядра | $\Delta m=Z m_p+N m_n-m_{\text{ядра}}$ | Молекулярная физика | Дефект массы ядра описывает разность между суммой масс свободных нуклонов и массой связанного ядра. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по ядерной физике. |
| Закон радиоактивного распада | $N=N_0e^{-\lambda t}$ | Молекулярная физика | Закон радиоактивного распада описывает экспоненциальное уменьшение числа нераспавшихся ядер. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по ядерной физике. |
| Импульс фотона | $p=\frac{h}{\lambda}=\frac{E}{c}$ | Геометрическая оптика | Импульс фотона описывает импульс кванта света через длину волны или энергию. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по квантовой оптике. |
| Комптоновская длина волны | $\lambda_C=\frac{h}{mc}$ | Молекулярная физика | Комптоновская длина волны описывает характерный масштаб частицы, связанный с ее массой покоя. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по квантовой и релятивистской физике. |
| Масса нейтрона | $m_n\approx1{,}67493\cdot10^{-27}\,\text{кг}\approx1{,}008665\,\text{а.е.м.}$ | Молекулярная физика | Масса нейтрона описывает массу нейтрона как электрически нейтрального нуклона. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по ядерной физике. |
| Масса протона | $m_p\approx1{,}67262\cdot10^{-27}\,\text{кг}\approx1{,}007276\,\text{а.е.м.}$ | Молекулярная физика | Масса протона описывает массу протона как положительно заряженного нуклона. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по атомной и ядерной физике. |
| Масса фотона | $m_\gamma=0,\qquad E=pc$ | Квантовая физика | В стандартной электродинамике и Стандартной модели фотон считается безмассовой частицей: его масса покоя mγ=0, а энергия и импульс в вакууме связаны формулой E=pc. |
| Масса электрона | $m_e\approx9{,}10938\cdot10^{-31}\,\text{кг}$ | Молекулярная физика | Масса электрона описывает массу электрона как базовую постоянную для атомных и электрических явлений. Формула нужна, чтобы быстро перейти от физических данных к расчету и проверить порядок величины в задачах по атомной физике. |