Содержание

Есть историческая справка, страница 9

Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.

1375 формул

Таблица формул

Показаны 481-540 из 1375. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Признаки делимости на 3 и 9	$n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$	Арифметика и теория чисел	Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр.
Простые и составные числа	$p>1,\;D(p)=\{1,p\}$	Арифметика и теория чисел	Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей.
Разложение числа на простые множители	$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$	Арифметика и теория чисел	Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.
Наибольший общий делитель	$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$	Арифметика и теория чисел	Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.
Наименьшее общее кратное	$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$	Арифметика и теория чисел	Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.
Сокращение дроби по НОД	$\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись.
Приведение дробей к общему знаменателю	$\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями	$\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями.
Умножение обыкновенных дробей	$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби.
Корень линейного уравнения ax + b = 0	$x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$	Алгебра	Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.
Основное свойство пропорции	$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$	Алгебра	Основное свойство пропорции утверждает: в равенстве двух дробей произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Произведение степеней с одинаковым основанием	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	Алгебра	При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.
Частное степеней с одинаковым основанием	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$	Алгебра	При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняют, а из показателя числителя вычитают показатель знаменателя.
Степень произведения	$(ab)^n = a^n b^n$	Алгебра	Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.
Степень степени	$(a^m)^n = a^{mn}$	Алгебра	При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.
Линейная функция	$y = kx + b$	Функции и графики	Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.
Угловой коэффициент прямой	$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$	Функции и графики	Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.
Сумма смежных углов	$\alpha + \beta = 180^\circ$	Геометрия	Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.
Вертикальные углы	$\alpha = \beta$	Геометрия	Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.
Сумма углов треугольника	$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$	Геометрия	Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.
Внешний угол треугольника	$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$	Геометрия	Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.
Периметр треугольника	$P = a + b + c$	Геометрия	Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.
Периметр прямоугольника	$P = 2(a + b)$	Геометрия	Периметр прямоугольника: периметр прямоугольника складывается из двух длин и двух ширин. В вычислениях это записывают как P = 2(a + b), если обозначения выбраны как в формуле.
Площадь прямоугольника	$S = ab$	Геометрия	Площадь прямоугольника: площадь прямоугольника равна числу единичных квадратов в прямоугольной сетке. В вычислениях это записывают как S = ab, если обозначения выбраны как в формуле.
Расстояние между точками на координатной прямой	$d = \|x_2 - x_1\|$	Алгебра	Расстояние между точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому результат всегда неотрицателен.
Приведение подобных слагаемых	$ka + ma = (k + m)a$	Алгебра	Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Произведение одночленов	$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$	Алгебра	Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.
Степень одночлена	$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$	Алгебра	При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.
Умножение многочлена на одночлен	$a(b + c) = ab + ac$	Алгебра	Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.
Умножение многочлена на многочлен	$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$	Алгебра	Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Вынесение общего множителя за скобки	$ab + ac = a(b + c)$	Алгебра	Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.
Разложение многочлена группировкой	$ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$	Алгебра	Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.
Линейное уравнение с двумя переменными	$ax + by = c$	Алгебра	Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.
Метод подстановки для системы линейных уравнений	$y = kx + b,\quad ax + by = c$	Алгебра	Метод подстановки решает систему линейных уравнений так: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение.
Метод сложения для системы линейных уравнений	$a_1x + b_1y = c_1,\quad a_2x + b_2y = c_2$	Алгебра	Метод сложения решает систему линейных уравнений за счет сложения или вычитания уравнений так, чтобы одна переменная исчезла.
Линейное уравнение вида ax + b = c	$ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$	Алгебра	Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.
Равносильные преобразования уравнения	$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$	Алгебра	Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Прямая пропорциональность	$y = kx$	Функции и графики	Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.
График линейной функции по двум точкам	$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$	Функции и графики	Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.
Деление одночленов	$\frac{a x^m}{b x^n}=\frac{a}{b}x^{m-n},\quad b\ne0,\ x\ne0$	Алгебра	Деление одночленов выполняют как деление коэффициентов и вычитание показателей одинаковых буквенных множителей. Это правило продолжает свойства степеней.
Коэффициент пропорциональности	$k=\frac{y}{x},\quad x\ne0$	Функции и графики	Коэффициент пропорциональности показывает, во сколько раз зависимая величина y отличается от ненулевой величины x в модели y = kx.
Свободный член линейной функции	$b=y-kx$	Функции и графики	Свободный член b в линейной функции y = kx + b можно найти по известной точке графика и угловому коэффициенту. Она уточняет, какие величины входят в запись b=y-kx и какой результат получают после подстановки.
Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент	$y-y_1=k(x-x_1)$	Функции и графики	Если известны точка прямой и ее угловой коэффициент, уравнение можно записать в виде y - y1 = k(x - x1). Она уточняет, какие величины входят в запись y-y_1=k(x-x_1) и какой результат получают после подстановки.
Сложение многочленов	$(a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0)$	Алгебра	При сложении многочленов складывают подобные члены: коэффициенты при одинаковых степенях переменной объединяются. Она уточняет, какие величины входят в запись (a_nx^n+\dots+a_0)+(b_nx^n+\dots+b_0)=(a_n+b_n)x^n+\dots+(a_0+b_0) и какой результат получают после подстановки.
Вычитание многочленов	$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))$	Алгебра	При вычитании многочлена нужно изменить знаки всех его членов, а затем привести подобные слагаемые. Она уточняет, какие величины входят в запись P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x)) и какой результат получают после подстановки.
Углы при параллельных прямых и секущей	$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$	Геометрия	При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.
Признак параллельности прямых по углам	$\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$	Геометрия	Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.
Неравенство треугольника	$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$	Геометрия	В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника	$\alpha+\beta=90^\circ$	Геометрия	В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки.
Периметр равнобедренного треугольника	$P=2a+b$	Геометрия	Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Нулевая степень ненулевого числа	$a^0=1,\quad a\ne0$	Алгебра	Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Условие a не равно нулю обязательно: выражение 0^0 в школьной алгебре не считают определенным. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Одночлен в стандартном виде	$c\,x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_k^{\alpha_k}$	Алгебра	Стандартный вид одночлена записывает числовой коэффициент первым, а одинаковые буквенные множители объединяет в степени с натуральными показателями. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Коэффициент одночлена	$A=c\,x_1^{\alpha_1}\cdots x_k^{\alpha_k}\quad\Rightarrow\quad c\text{ — коэффициент}$	Алгебра	Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. Он показывает, во сколько раз взята буквенная часть, включая знак выражения. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Угол между биссектрисами смежных углов	$\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$	Геометрия	Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Линейная функция по коэффициентам k и b	$y=kx+b$	Функции и графики	Линейная функция y=kx+b задает прямую: коэффициент k отвечает за наклон графика, а b показывает точку пересечения с осью Oy. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Точка пересечения двух прямых	$k_1x+b_1=k_2x+b_2,\quad x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$	Функции и графики	Точку пересечения двух прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2 находят приравниванием правых частей. Абсцисса равна (b2-b1)/(k1-k2), если k1 не равно k2. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Первый признак равенства треугольников	$AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$	Геометрия	Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников	$AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$	Геометрия	Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Третий признак равенства треугольников	$AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$	Геометрия	Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Значение линейной функции по заданному аргументу	$y_0 = kx_0 + b$	Функции и графики	Формула позволяет найти значение линейной функции y = kx + b в конкретной точке: вместо x подставляют заданный аргумент x0 и выполняют обычные вычисления. Она связывает з.