Содержание
Есть историческая справка, страница 9
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
808 формул
Таблица формул
Показаны 481-540 из 808. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Координата середины отрезка на прямой | $x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ | Алгебра | Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Периметр многоугольника через стороны | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Геометрия | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Арифметический квадратный корень | $\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$ | Алгебра | Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом. |
| Квадрат арифметического квадратного корня | $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ | Алгебра | Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений. |
| Квадратный корень из частного | $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$ | Алгебра | Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен. |
| Вынесение множителя из-под квадратного корня | $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ | Алгебра | Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем. |
| Внесение множителя под квадратный корень | $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$ | Алгебра | Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}. |
| Сложение подобных квадратных корней | $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ | Алгебра | Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей. |
| Неполное квадратное уравнение x² = a | $x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$ | Алгебра | Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет. |
| Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 | $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ | Алгебра | Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя. |
| Корни приведенного квадратного уравнения | $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ | Алгебра | Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета. |
| Разложение квадратного трехчлена на множители | $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ | Алгебра | Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2). |
| Абсцисса вершины параболы | $x_0=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины. |
| Ордината вершины параболы | $y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}$ | Функции и графики | Ордината вершины параболы находится подстановкой x0 в квадратичную функцию или по формуле через коэффициенты a, b и c; она дает минимум или максимум функции. |
| Ось симметрии параболы | $x=-\frac{b}{2a}$ | Функции и графики | Ось симметрии параболы y = ax^2 + bx + c - вертикальная прямая x = -b/(2a), проходящая через вершину графика и делящая его пополам. |
| n-й член арифметической прогрессии | $a_n=a_1+(n-1)d$ | Алгебра | n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности. |
| Сумма первых n членов арифметической прогрессии | $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ | Алгебра | Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и n-го членов, умноженному на число членов. |
| n-й член геометрической прогрессии | $b_n=b_1 q^{n-1}$ | Алгебра | n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений. |
| Сумма первых n членов геометрической прогрессии | $S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$ | Алгебра | Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1. |
| Классическая вероятность события | $P(A)=\frac{m}{n}$ | Вероятность и статистика | Классическая вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в конечном случайном опыте. |
| Расстояние между двумя точками на плоскости | $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Геометрия | Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной. |
| Координаты середины отрезка | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Геометрия | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости. |
| Теорема Пифагора | $c^2 = a^2 + b^2$ | Геометрия | Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. |
| Площадь треугольника через основание и высоту | $S = \frac{1}{2}ah$ | Геометрия | Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на соответствующую высоту. |
| Площадь параллелограмма | $S = ah$ | Геометрия | Площадь параллелограмма находят как произведение стороны, выбранной основанием, на перпендикулярную высоту к этой стороне. |
| Площадь трапеции | $S = \frac{a + b}{2}h$ | Геометрия | Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту, проведенную между параллельными сторонами. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Площадь ромба через диагонали | $S = \frac{d_1d_2}{2}$ | Геометрия | Площадь ромба можно найти по диагоналям: половина произведения диагоналей дает площадь всей фигуры. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Теорема Виета для квадратного уравнения | $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$ | Алгебра | Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня. |
| Квадрат суммы | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения. |
| Квадрат разности | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | Алгебра | Квадрат разности раскрывается как квадрат первого выражения, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго выражения. |
| Разность квадратов | $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ | Алгебра | Разность квадратов раскладывается на два множителя: разность оснований и сумму тех же оснований. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Свойство квадратного корня из произведения | $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$ | Алгебра | Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей можно заменить произведением квадратных корней из этих множителей. |
| Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике | $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ | Тригонометрия | Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Средняя линия треугольника | $m = \frac{a}{2}$ | Геометрия | Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Количество теплоты при нагревании | $Q = cm\Delta t$ | Термодинамика | Количество теплоты при нагревании или охлаждении тела без фазового перехода равно c·m·Δt и зависит от вещества, массы и изменения температуры. |
| Удельная теплота плавления | $Q = \lambda m$ | Термодинамика | Удельная теплота плавления показывает, сколько энергии нужно для плавления 1 кг вещества при температуре плавления без изменения температуры. |
| Удельная теплота парообразования | $Q = Lm$ | Термодинамика | Удельная теплота парообразования показывает энергию, необходимую для превращения 1 кг жидкости в пар при постоянной температуре. |
| Сила тока через заряд и время | $I = \frac{q}{t}$ | Электричество | Сила тока равна отношению электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени прохождения заряда. |
| Сопротивление проводника | $R = \rho \frac{l}{S}$ | Электричество | Сопротивление однородного проводника равно ρl/S: оно растет с длиной и удельным сопротивлением материала и уменьшается при большем сечении. |
| Последовательное соединение сопротивлений | $R = R_1 + R_2 + \dots + R_n$ | Электричество | При последовательном соединении сопротивления складываются, потому что один и тот же ток проходит через каждый элемент цепи по очереди. |
| Параллельное соединение сопротивлений | $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$ | Электричество | При параллельном соединении складываются проводимости ветвей: обратное общего сопротивления равно сумме обратных сопротивлений. |
| Работа электрического тока | $A = UIt$ | Электричество | Работа электрического тока равна UIt и показывает, какую энергию электрическое поле передает зарядам на участке цепи за время t. |
| Закон Джоуля-Ленца | $Q = I^2Rt$ | Электричество | Закон Джоуля-Ленца определяет количество теплоты, выделяемое проводником с током: Q = I²Rt. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Формула тонкой линзы | $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ | Геометрическая оптика | Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями от линзы до предмета и до изображения. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Оптическая сила линзы | $D = \frac{1}{F}$ | Геометрическая оптика | Оптическая сила линзы равна 1/F и измеряется в диоптриях, если фокусное расстояние выражено в метрах. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Уравнение окружности в канонической форме | $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая форма окружности прямо задает все ее параметры через центр и радиус: центр (a, b), радиус R. Эта запись удобна для проверки принадлежности точки и быстрых преобразований уравнений. |
| Уравнение окружности по центру и радиусу | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Эта формула показывает, как получить уравнение окружности, если известны центр и радиус. Переписывать в развернутую форму обычно не нужно до появления задачи на пересечения с прямой или касательные. |
| Уравнение касательной к окружности в заданной точке | $(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$ | Прямые, плоскости | Уравнение касательной к окружности строится через радиус к точке касания: радиус и касательная перпендикулярны. Формула удобна для получения касательной сразу из центра и точки на окружности. |
| Дискриминант пересечения окружности и прямой | $\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$ | Прямые, плоскости | Сравнение числа пересечений окружности и прямой удобно делать через знак дискриминанта квадратного уравнения после подстановки. Положительный, нулевой и нулевой/отрицательный знак дают две, одну или нулевую точку пересечения. |
| Каноническое уравнение эллипса | $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$ | Прямые, плоскости | Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую. |
| Расстояние от центра до фокуса эллипса | $c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$ | Прямые, плоскости | Для эллипса параметры фокусов определяются через полуоси: расстояние от центра до фокуса c и эксцентриситет e описывают форму и вытянутость кривой. |
| Каноническое уравнение гиперболы | $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ | Прямые, плоскости | Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали. |
| Асимптоты гиперболы в канонических координатах | $y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ | Прямые, плоскости | Асимптоты описывают направление ветвей гиперболы и ее поведение на бесконечности. Это линейные прямые, к которым график гиперболы приближается. |
| Каноническое уравнение параболы | $y-k = a(x-h)^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая запись параболы связывает ее вершину (h,k) и параметр раскрытия a. При знаке a определяется направление ветвей по оси y. |
| Парабола через фокус и директрису | $\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$ | Прямые, плоскости | Определение параболы через фокус и директрису: расстояние от точки кривой до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы. Это формула-идея для построения и проверки уравнения параболы. |
| Расстояние между двумя точками в пространстве | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Расстояние между точками A и B в трехмерной системе координат находится как длина разностного вектора координат по всем осям. |
| Вектор между двумя точками в пространстве | $\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ | Прямые, плоскости | Вектор между точками A и B в 3D строится как разность их координат по каждой оси. Формула "Вектор между двумя точками в пространстве" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Уравнение плоскости по точке и нормали | $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ | Прямые, плоскости | Плоскость в пространстве задается координатами точки на ней и нормальным вектором, перпендикулярным плоскости. Формула "Уравнение плоскости по точке и нормали" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |
| Расстояние от точки до плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до плоскости вычисляется как отношение модуля подстановки точки в уравнение плоскости к длине нормали. |
| Угол между двумя плоскостями | $\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$ | Прямые, плоскости | Острый угол между плоскостями равен углу между их нормалями, для которого используется скалярное произведение. Формула "Угол между двумя плоскостями" переводит пространственную геометрию на язык координат и помогает работать с объектами в 3D без неоднозначности рисунка. |